Question

11．如圖，AB是一根帶鉸鏈的輕質細桿，呈水平狀態(tài)；三段輕繩的結點為B，輕繩L₁與AB的夾角α=30°，其一段固定于墻壁上的C點，另一端系于B點，細繩L₂的一端跨過定滑輪與原長為l₀=12cm、勁度系數(shù)為k=400N/m的彈簧相連，彈簧另一端連接物體M，物體M靜止于傾角為θ=37°，摩擦因數(shù)μ=0.5的斜面上，斜面固定于一個機械平臺H上，平臺的高度以及離墻豎直壁的距離均可以通過平臺調節(jié)；細繩L₃下端掛有質量m_p=4kg的重物P．當調節(jié)平臺，使a=β時，輕質細桿AB的上的彈力恰好為零．

（1）求此時細繩L₂上的拉力大小以及彈簧的長度．
（2）要使物塊M靜止在斜面上，則物體M質量的取值范圍；
（3）把物體M固定于斜面，在保證結點B的位置不變且輕質細桿AB彈力仍恰好為零的情況下，通過調節(jié)平臺可使細繩L₂的拉力最�。�求此時細繩L₂對結點B的拉力．

Answer 1

分析 （1）a=β時細繩L₁和L₂上的拉力大小相等，由平衡條件求拉力大�。�由胡克定律求彈簧伸長的長度，再加上原長得到彈簧的長度．
（2）當物體摩擦力方向沿斜面向下且達到最大時，M的質量達最大值．當物體摩擦力方向沿斜面向上且達到最大時，M的質量達最小值．由平衡條件求解．
（3）根據(jù)三角形定則判斷出來：當兩條細繩相互垂直時L₂的拉力最小，由平衡條件求解．

解答 解：（1）由于a=β，由受力分析可得L₁和L₂上的拉力大小相等，即 T₁=T₂，由于L₁和L₂的夾角為120°，則得 T₁=T₂=m_pg=40N
彈簧的彈力 F=T₂=40N
根據(jù)胡克定律：F=kx，得 x=0.1m
則彈簧的長度為 l=l₀+x=0.12+0.1=0.22m=22cm
（2）當物體所受的摩擦力方向沿斜面向下且恰好達到最大靜摩擦時，設此時物體的質量為m₁．則有
  T₂=μm₁gcosθ+m₁gsinθ
解得 m₁=4kg
當物體所受的摩擦力方向沿斜面向上且恰好達到最大靜摩擦時，設此時物體的質量為m₂．則有
  T₂+μm₂gcosθ=m₂gsinθ
解得 m₂=20kg
故物體M質量的取值范圍為 4kg≤M≤20kg
（3）根據(jù)三角形定則可知，當兩條細繩相互垂直時，即β=60°時L₂的拉力最小
最小拉力為 T_2min=m_Pgcos30°=20$\sqrt{3}$N
答：
（1）此時細繩L₂上的拉力大小是40N，彈簧的長度是22cm．
（2）物體M質量的取值范圍為 4kg≤M≤20kg．
（3）此時細繩L₂對結點B的拉力是20$\sqrt{3}$N．

點評 本題關鍵是找出物體M恰好不上滑和恰好不下滑的臨界狀態(tài)，然后根據(jù)共點力平衡條件列式求解．