Question

2．洛倫茲力演示儀可以演示電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)徑跡．圖甲為洛倫茲力演示儀實(shí)物圖，圖乙為結(jié)構(gòu)示意圖．演示儀中有一對(duì)彼此平行的共軸串聯(lián)的圓形線圈（勵(lì)磁線圈），當(dāng)通過勵(lì)磁線圈的電流為 I 時(shí)，線圈之間產(chǎn)生沿線圈軸向、磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=kI （k=1×10^-3T/A）的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；半徑 R=80mm 的圓球形玻璃泡內(nèi)有電子槍，可通過加速電壓 U 對(duì)初速度為零的電子加速并連續(xù)發(fā)射，電子剛好從球心 O 點(diǎn)正下方 40mm 處的 S 點(diǎn)沿水平向左射出．當(dāng)勵(lì)磁線圈的電流 I=1A，加速電壓 U=160V 時(shí)，測(cè)得沿順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的電子流徑跡直徑 D=80mm．試問：

（1）勵(lì)磁線圈的電流方向如何？為了使電子流徑跡的半徑增大，可采取哪些措施？
（2）由題中數(shù)據(jù)可求得電子的比荷$\frac{e}{m}$為多大？
（3）當(dāng)勵(lì)磁線圈的電流 I=0.7A 時(shí)，為使電子流形成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求加速電壓的范圍．
（4）若電子槍的加速電壓可以在 0 到 250V 的范圍內(nèi)連續(xù)調(diào)節(jié)，且勵(lì)磁線圈的電流從 0.5A 到 2A 的范圍內(nèi)連續(xù)調(diào)節(jié)．求玻璃泡上被電子擊中范圍的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)電子的徑跡，電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力方向指向圓心，由左手定則判斷勵(lì)磁線圈中的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向，然后由安培定則判斷勵(lì)磁線圈中電流的方向；
（2）由動(dòng)能定理求出電子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，聯(lián)立求出電子的比荷；
（3）由動(dòng)能定理$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$和$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，聯(lián)立求出電壓表達(dá)式，代入數(shù)據(jù)求出加速電壓范圍；
（4）求出電子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，然后確定電子打在玻璃泡上的范圍．

解答 解：（1）根據(jù)左手定則可知?jiǎng)?lì)磁線圈的電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，由安培定則知?jiǎng)?lì)磁線圈中電流方向?yàn)轫槙r(shí)針方向
根據(jù)電子運(yùn)動(dòng)的半徑公式$R=\frac{mv}{qB}$，電子流徑跡半徑增大，可采取的措施是：增大電子速度（或增大電壓），減小磁感應(yīng)強(qiáng)度（或減小電流）
（2）電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：$evB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
電子在電子槍中加速，根據(jù)動(dòng)能定理：$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
聯(lián)立可以得到：$\frac{e}{m}=\frac{2U}{{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}}$
其中$B=kI=1×1{0}_{\;}^{-3}×1=1×1{0}_{\;}^{-3}T$，$r=\frac{D}{2}=40mm=0.04m$
代入數(shù)據(jù)解得：$\frac{e}{m}=\frac{2×160}{（1×1{0}_{\;}^{-3}）_{\;}^{2}×（0.04）_{\;}^{2}}=2×1{0}_{\;}^{11}C/kg$
（3）根據(jù)$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$和$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$可以得到：
$U=\frac{{B}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{2}e}{2m}$=$\frac{（0.7×1{0}_{\;}^{-3}）_{\;}^{2}×（0.04）_{\;}^{2}}{2}×2×1{0}_{\;}^{11}$=86.24V，故電壓范圍為0～86.24V
（4）由qvB=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，$eU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$，根據(jù)題意B=kI，聯(lián)立可解得：$r=\frac{\sqrt{\frac{2mU}{e}}}{kI}$，當(dāng)電壓取250V電流取0.5A時(shí)，半徑最大，最大值r=10cm．此時(shí)電子達(dá)到C點(diǎn)，

在三角形OCO′中，由余弦定理：
$O′{C}_{\;}^{2}=O{C}_{\;}^{2}+OO{′}_{\;}^{2}+2OC•OO′cos∠COO′$
解得：$∠COO′=\frac{π}{2}$，當(dāng)粒子的半徑比較小的時(shí)候，與圖中的D點(diǎn)相切，此時(shí)半徑為6cm．

電子打到玻璃泡上的范圍在CD之間長(zhǎng)度為$\frac{πR}{2}=0.126m$
答：（1）勵(lì)磁線圈的電流方向如何？為了使電子流徑跡的半徑增大，可采取措施有：增大電子速度（或增大電壓），減小磁感應(yīng)強(qiáng)度（或減小電流）
（2）由題中數(shù)據(jù)可求得電子的比荷$\frac{e}{m}$為$2×1{0}_{\;}^{11}C/kg$
（3）當(dāng)勵(lì)磁線圈的電流 I=0.7A 時(shí)，為使電子流形成完整的圓周運(yùn)動(dòng)，加速電壓的范圍0～86.24V．
（4）若電子槍的加速電壓可以在 0 到 250V 的范圍內(nèi)連續(xù)調(diào)節(jié)，且勵(lì)磁線圈的電流從 0.5A 到 2A 的范圍內(nèi)連續(xù)調(diào)節(jié)．玻璃泡上被電子擊中范圍的長(zhǎng)度0.126m

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，正確分析出儀器的原理是關(guān)鍵．要掌握粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的基本方法：定圓心、定半徑、畫軌跡．