Question

（2003?天津）一傳送帶裝置示意圖，其中傳送帶經(jīng)過AB區(qū)域時是水平的，經(jīng)過BC區(qū)域時變?yōu)閳A弧形（圓弧由光滑模板形成，未畫出），經(jīng)過CD區(qū)域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切．現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速度為零，經(jīng)傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h．穩(wěn)定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L．每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經(jīng)相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經(jīng)BC段的微小滑動）．已知在一段相當長的時間T內(nèi)，共運送小貨箱的數(shù)目N個．這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦．求電動機的平均功率

.

P

．

Answer 1

分析：要求電動機的平均功率，需要知道在T時間內(nèi)運送小貨箱電動機所做的功，而電動機所做的功一是轉化為小貨箱的動能，二是轉化為小貨箱的重力勢能，三是由于小貨箱和傳送帶發(fā)生相對運動而產(chǎn)生的內(nèi)能；由于每個小貨箱都是從靜止開始運動并且最后和傳送帶的速度相同，故每個小貨箱獲得的動能相同．又由于每個小貨箱都是從底部運送到頂部，故每個小貨箱增加的重力勢能相同，同樣產(chǎn)生的熱量相同，故需要求出每個小貨箱在加速的過程中產(chǎn)生的熱量．而熱量等于摩擦力與相對位移的乘積，故需要求解相對位移．

解答：解：以地面為參考系（下同），設傳送帶的運動速度為v₀，在水平段運輸?shù)倪^程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速直線運動，其末速度等于傳送帶的速度，設這段時間內(nèi)小貨箱通過的位移為s，所用的時間為t，加速度為a，則對小貨箱有
s=

1

2

at²                                                        ①
v₀=at                                                          ②
在這段時間內(nèi)，傳送帶運動的路程為
s₀=v₀t                                                          ③
由以上各式得
s₀=2s                                                           ④
用f表示小貨箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小貨箱做功為
W₁=fs=

1

2

mV02                                                     ⑤
傳送帶克服小箱對它的摩擦力做功
W₀=fs₀=2×

1

2

mV02                                                 ⑥
兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量
Q=

1

2

mV02                                                         ⑦
可見，在小貨箱加速運動過程中，小貨箱獲得的動能與系統(tǒng)因相對運動產(chǎn)生的熱量相等．
T時間內(nèi)，電動機輸出的功為
W=

.

P

T                                                            ⑧
此功用于增加小貨箱的動能、重力勢能以及克服摩擦力產(chǎn)生熱量，即
W=

1

2

NmV02+Nmgh+NQ                                               ⑨
已知相鄰兩小箱的距離為L，所以在T時間內(nèi)運送的小貨箱的個數(shù)N，
則V₀T=NL                                                     　 ⑩
聯(lián)立⑦⑧⑨⑩式，得

.

P

=

Nm

T

[

N2L2

T2

+gh]．

點評：無論多難的題目實際上都是由一些簡單的題目綜合而成，故在遇到難題時不要緊張，更不能放棄，而是要心平氣和的分析題設和求解之間的關系，從而最終解決問題．