Question

（2010?濟(jì)南一模）如圖所示，某貨場(chǎng)利用固定于地面的、半徑R=1.8m的四分之一圓軌道將質(zhì)量為m₁=10kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）從高處運(yùn)送至地面，已知當(dāng)貨物由軌道頂端無初速滑下時(shí)，到達(dá)軌道底端的速度為5m/s．為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，在地面上緊靠軌道依次排放兩塊完全相同的木板A、B，長度均為l=2m，質(zhì)量均為m₂=20kg，木板上表面與軌道末端相切．貨物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.4，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.1．（最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求貨物沿圓軌道下滑過程中克服摩擦力做的功
（2）通過計(jì)算判斷貨物是否會(huì)從木板B的右端滑落？若能，求貨物滑離木板B右端時(shí)的速度；若不能，求貨物最終停在B板上的位置．

Answer 1

分析：（1）設(shè)貨物沿圓軌道下滑過程中克服摩擦力做的功為W_f，對(duì)貨物，由動(dòng)能定理列式即可求解；
（2）先根據(jù)摩擦力的大小判斷貨物滑上木板A時(shí)AB的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，再由動(dòng)能定理列式求解滑到A末端的速度，再判斷滑上B時(shí)B的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，設(shè)貨物不會(huì)從木板B的右端滑落，二者剛好相對(duì)靜止時(shí)的速度為v₂，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式即可判斷求解．

解答：解：（1）設(shè)貨物沿圓軌道下滑過程中克服摩擦力做的功為W_f，對(duì)貨物，
由動(dòng)能定理得：
m1gR-Wf=

1

2

m1v2
Wf=m1gR-

1

2

m1v2=55J
（2）當(dāng)貨物滑上木板A時(shí)，貨物對(duì)木板的摩擦力f₁=μ₁m₁g=40N
地面對(duì)木板A、B的最大靜摩擦力f₂=μ₂（2m₂+m₁）g=50N
由于f₁＜f₂，
此時(shí)木板A、B靜止不動(dòng)．       
設(shè)貨物滑到木板A右端時(shí)速度為v₁，由動(dòng)能定理：-μ1m1gl=

1

2

m1

v

2 1

-

1

2

m1v2
得：v₁=3m/s
當(dāng)貨物滑上木板B時(shí)，地面對(duì)木板A、B最大靜摩擦力f₃=μ₂（m₂+m₁）g=30N
由于f₁＞f₃，此時(shí)木反B開始滑動(dòng)．     
設(shè)貨物不會(huì)從木板B的右端滑落，二者剛好相對(duì)靜止時(shí)的速度為v₂．
則對(duì)貨物：a1=μ1g=4m/s2
v₂=v₁-a₁t
對(duì)木板B：a2=

μ1m1g-μ2(m1+m2)g

m2

=0.5m/s2
v₂=a₂t
由以上兩式可得：v2=

1

3

m/s
t=

2

3

s
此過程中，s1=

1

2

(v1+v2)t=

10

9

ms2=

1

2

v2t=

1

9

m
由于s₁-s₂=1.0m＜l，所以貨物最終未從木板B上滑了，且與其右端的距離為1.0m
答：（1）貨物沿圓軌道下滑過程中克服摩擦力做的功為55J；
（2）貨物最終未從木板B上滑了，且與其右端的距離為1.0m

點(diǎn)評(píng)：本題考查了動(dòng)能定理、運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式和牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用，特別需要注意的是貨物在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)木板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運(yùn)到到不同的地方時(shí)木板的受力不一樣．