Question

如圖所示，兩個圓形光滑細管在豎直平面內交疊，組成“8”字形通道，在“8”字形通道底端B處連接一內徑相同的粗糙水平直管AB．已知E處距地面的高度h=3.2m，一質量m=1kg的小球a從A點以速度v₀=12m/s的速度向右進入直管道，到達B點后沿“8”字形軌道向上運動，到達D點時恰好與軌道無作用力，直接進入DE管（DE管光滑），并與原來靜止于E處的質量為M=4kg的小球b發(fā)生正碰（ab均可視為質點）．已知碰撞后a球沿原路返回，速度大小為碰撞前速度大小的

1

3

，而b球從E點水平拋出，其水平射程s=0.8m，（g取10m/s²）
（1）求碰后b球的速度大�。�
（2）求“8”字形管道上下兩圓的半徑r和R．
（3）若小球a在管道AB中運動時所受阻力為定值，請判斷a球返回到BA管道中時能否從A端穿出？

Answer 1

分析：（1）碰后b球做平拋運動，水平方向勻速直線運動，豎直方向上做自由落體運動，據(jù)此列方程即可求解．
（2）根據(jù)碰撞過程動量守恒，求出碰前a球速度，由于a球“到達D點時恰好與軌道無作用力”，即重力提供向心力，根據(jù)向心力公式求出上半圓的半徑，然后由幾何關系即可求出下半圓半徑．
（3）小球在豎直軌道內運動時，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒，求出小球在B點動能，然后根據(jù)動能定理求出從A到B過程中小球克服摩擦力做功，再根據(jù)機械能守恒求出小球返回到達B點時的動能，從而進一步根據(jù)功能關系判斷小球是否能返回A點．

解答：解：（1）b球離開DE后做平拋運動：
h=

gt2

2

s=v_bt                         
解得 v_b=1m/s   
故碰后b球的速度大小為：v_b=1m/s．                            
（2）ab碰撞過程，動量守恒，以水平向右為正方向：
mva=-m

va

3

+Mvb
V_a=3m/s                                
碰前a在D處恰好與軌道無作用力：
mg=

m v 2 a

r

r=0.9m                                
R=

h-2r

2

=0.7m
故上半圓半徑r=0.9m，下半圓半徑R=0.7m．   
（3）小球從B到D，機械能守恒：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 a

+mgh
解得：

1

2

m

v

2 B

=36.5J
從A到B過程，由動能定理得：
-Wf=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 0

解得：W_f=35.5J                      
從D到B，機械能守恒有：

1

2

m(

v   a

3

)2+mgh=

1

2

m

v

′2 B

解得：

1

2

m

v

′2 B

=32.5J＜W_f                    
故，a球返回到BA管道中時，不能從A端穿出．

點評：本題過程較多較復雜，充分考查了學生應用物理知識解題的綜合能力，但是只要把握功能關系這條主線，然后結合動量守恒、向心力公式等知識點便能正確解答，在平時要加強這方面能力的訓練．