Question

18．如圖所示，在第一象限的空間中存在勻強電場，場強沿y軸負方向；在第四象限中，存在勻強磁場，磁場方向垂直xy平面（紙面）向外．一電量為q、質量為m的帶正電的運動粒子，經過y軸上y=h處的點P₁時速率為v₀，方向沿x軸正方向；然后經過x軸上x=2h處的P₂點進入磁場，并經過y軸上y=-2h處的P₃點，最后達到x軸上的P₄點（圖中未畫出）．若不計重力，求：
（1）電場強度的大��；
（2）磁感應強度的大小；
（3）從P₁運動到P₄經歷的時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，由牛頓第二定律及運動學公式即可求出電場強度；
（2）粒子在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動的半徑根據幾何關系可以求出，再由牛頓第二定律即可求出磁感應強度；
（3）分段求時間：電場中運用運動學公式求時間，磁場中粒子運動了半個周期，再求總時間．

解答 解：（1）粒子在第Ⅰ象限空間做類平拋運動，
水平方向：2h=v₀t₁，
豎直方向：h=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t₁²，
解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）粒子到達P₂點時，
v_x=v₀，v_y²=2ah=2$\frac{qE}{m}$h=v₀²，
v_y=v_x，速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$v₀，
tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$=1，θ=45°，速度與x軸夾角θ=45°，
粒子軌跡如圖所示，OP₂=OP₃=2h，θ=45°，
則$\overline{{P}_{2}{P}_{3}}$為圓周直徑，圓周半徑 r=2hcos45°=$\sqrt{2}$h，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qh}$；
（3）粒子出磁場后沿$\overline{{P}_{3}{P}_{4}}$作勻速直線運動  由幾何關系：φ=θ=45°，
$\overline{O{P}_{4}}$=2h，$\overline{{P}_{3}{P}_{4}}$=2$\sqrt{2}$h，則：P₄點坐標為（-2h，0），
粒子在電場運動時間：t₁=$\frac{2h}{{v}_{0}}$，
在磁場中運動周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
在磁場中運動時間為：t₂=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πh}{{v}_{0}}$，
做勻速直線運動時間：t₃=$\frac{\overline{{P}_{3}{P}_{4}}}{v}$=$\frac{2h}{{v}_{0}}$，
由P₁到P₄經歷的時間：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（4+π）h}{{v}_{0}}$；
答：（1）電場強度的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）磁感應強度的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qh}$；
（3）從P₁運動到P₄經歷的時間為$\frac{（4+π）h}{{v}_{0}}$．

點評 本題主要考查了帶電粒子在混合場中運動的問題，要求同學們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運動情況，熟練掌握圓周運動及平拋運動的基本公式，難度適中．