Question

如圖所示，質(zhì)量為M的光滑長木板靜止在光滑水平地面上，左端固定一勁度系數(shù)為k的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可伸長的細繩連接于豎直墻上，細繩所能承受的最大拉力為F_T，使一質(zhì)量為m、初速度為v₀的小物體，在木板上無摩擦地向左滑動而后壓縮彈簧，細繩被拉斷，不計細繩被拉斷時的能量損失．彈簧的彈性勢能表達式為E_p=

1

2

kx²（k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量）．

（1）要使細繩被拉斷，v_o應滿足怎樣的條件？
（2）若小物體最后離開長木板時相對地面速度恰好為零，請在坐標系中定性畫出從小物體接觸彈簧到與彈簧分離的過程小物體的v-t圖象；
（3）若長木板在細繩拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大加速度為a_M，求此時小物體的速度．

Answer 1

分析：（1）細繩恰好被拉斷時，細繩的拉力恰好等于F_T，根據(jù)胡克定律求出彈簧的壓縮量．在彈簧被壓縮的過程中，物塊的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，由機械能守恒求解細繩被拉斷時物塊的速度條件．
（2）彈簧壓縮過程，彈力變大，加速度變大，物體做加速度變大的減速運動；彈簧恢復原長過程，彈力減小，加速度減小，物體做加速度減小的減速運動；
（3）彈簧壓的最短時，彈力最大，木板的加速度最大，根據(jù)機械能守恒定律或動量守恒定律列式求解即可．

解答：解：（1）設細繩剛被拉斷時彈簧的壓縮量為x₁，此時有 kx₁=F_T
為使彈簧壓縮達到x₁，對小物塊要求是

1

2

m

v

2 0

＞

1

2

k

x

2 1

，由此得到，細繩被拉斷的條件是：v₀＞

FT

km

；
（2）圖象如圖；

（3）當彈簧壓縮至最短時，滑塊有向左的最大加速度a_m，此時，設彈簧壓縮量為x₂，小物體和滑塊具有相同的速度v；
根據(jù)牛頓第二定律，有
kx₂=Ma_M
從小物體接觸彈簧到壓縮到最短，小物體、滑塊和彈簧組成的系統(tǒng)機械能守恒，有

1

2

k

x

2 2

+

1

2

(M+m)v2=

1

2

m

v

2 0

解得
v=

km v 2 0 -(MaM)2 k(M+m)

答：（1）要使細繩被拉斷，v_o應滿足的條件是v₀＞

FT

km

；
（2）圖象如上圖所示；
（3）若長木板在細繩拉斷后被加速的過程中，所能獲得的最大加速度為a_M，此時小物體的速度為v=

km v 2 0 -(MaM)2 k(M+m)

．

點評：本題是系統(tǒng)動量守恒和機械能守恒的綜合應用，要挖掘所隱含的臨界條件：細繩被拉斷剛好被拉斷時，細繩的拉力達到最大．