Question

19．如圖，足夠長(zhǎng)的光滑斜面傾角θ=37°，兩個(gè)物塊A，B質(zhì)量均為m，用勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，C為固定在斜面上的擋板，物塊A通過(guò)一根輕繩跨過(guò)光滑定滑輪與物塊D相連，用手托住D，使輕繩伸直但沒(méi)有彈力，將D由靜止釋放，運(yùn)動(dòng)中D始終未落地，不考慮空氣阻力，問(wèn)：
（1）要使B不離開(kāi)C，D的質(zhì)量應(yīng)滿足什么條件；
（2）若D的質(zhì)量為也m，求B離開(kāi)C時(shí)D的速率
（3）若D的質(zhì)量為$\frac{m}{2}$，已知D從釋放到速度最大的過(guò)程中彈簧彈性勢(shì)能的減少量△E_P=$\frac{7{m}^{2}{g}^{2}}{40k}$，求D下落的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）A和D下降的過(guò)程中，先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)，由于彈簧的彈力與彈簧的形變量成正比，所以A和D的加速過(guò)程和減速過(guò)程是對(duì)稱的，當(dāng)它們的速度是0時(shí)，加速度的方向與開(kāi)始時(shí)加速度的方向相反，結(jié)合B恰好不離開(kāi)C時(shí)對(duì)C的壓力恰好為0，即可得出D的質(zhì)量滿足的條件；
（2）若D的質(zhì)量為也m，B離開(kāi)C時(shí)，A與D的重力勢(shì)能的變化等于它們動(dòng)能的增加，然后求出D的速率；
（3）結(jié)合概念關(guān)系即可求出D下落的最大速度v_最大．

解答 解：（1）沒(méi)有松開(kāi)手之前，A處于平衡狀態(tài)，沿斜面的方向彈簧的彈力與A受到的重力的分力大小相等，得：F=mgsin
設(shè)D的質(zhì)量為M，則A與D剛剛開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，A與D的加速度的方向都沿繩子的方向，D側(cè)向下，由牛頓第二定律得：
Mg-mgsinθ+F=（M+m）a
所以：$a=\frac{Mg}{M+m}$    ①
B恰好不離開(kāi)C時(shí)對(duì)C的壓力恰好為0，以B為研究的對(duì)象，則沿斜面方向：F′=mgsinθ   ②
A和D下降的過(guò)程中，先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)，由于彈簧的彈力與彈簧的形變量成正比，所以A和D的加速過(guò)程和減速過(guò)程是對(duì)稱的，當(dāng)它們的速度是0時(shí)，加速度的方向與開(kāi)始時(shí)加速度的方向相反，由牛頓第二定律得：F′+mgsinθ-Mg=（m+M）a    ③
聯(lián)立①②③得：M=msinθ=m×sin37°=0.6m
（2）由（1）的解答過(guò)程可知，B剛剛要離開(kāi)C時(shí)，彈簧的拉力與開(kāi)始時(shí)彈簧的拉力大小相等，所以B剛剛要離開(kāi)C時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能與開(kāi)始時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能相等，A與D的重力勢(shì)能的變化等于它們動(dòng)能的增加．
開(kāi)始時(shí)：F=mgsinθ=kx₁
B剛剛要離開(kāi)C時(shí)：F′=mgsinθ=kx₂  
D下降的高度：${h}_{1}={x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2mgsinθ}{k}=\frac{1.2mg}{k}$④
A上升的高度：${h}_{2}=（{x}_{1}+{x}_{2}）sinθ=\frac{2mgsi{n}^{2}θ}{k}=\frac{0.72mg}{k}$  ⑤
由機(jī)械能守恒得：$mg{h}_{1}-mg{h}_{2}=\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$   ⑥
聯(lián)立④⑤⑥得：$v=0.4g\sqrt{\frac{3m}{k}}$
（3）若D的質(zhì)量為$\frac{m}{2}$，D達(dá)到速度最大時(shí)A與D受到的合外力為0，設(shè)此時(shí)彈簧的彈力為F″，則：$mgsinθ-F″-\frac{1}{2}mg=0$
得：F″=0.1mg
又：F″=kx₃
得：${x}_{3}=\frac{F″}{k}=\frac{0.1mg}{k}$   ⑧
D下降的高度：${h}_{3}={x}_{1}-{x}_{3}=\frac{mgsinθ-0.1mg}{k}=\frac{0.5mg}{k}$  ⑨
A上升的高度${h}_{4}={（x}_{1}-{x}_{3}）sinθ=\frac{0.3mg}{k}$    （10）
由機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}mg{h}_{3}-mg{h}_{4}+△{E}_{P}=\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}m+m）{v}_{m}^{2}$  （11）
聯(lián)立以上三式得：${v}_{m}=g•\sqrt{\frac{m}{10k}}$
答：（1）要使B不離開(kāi)C，D的質(zhì)量是0.6m；
（2）若D的質(zhì)量為也m，B離開(kāi)C時(shí)D的速率是$0.4g\sqrt{\frac{3m}{k}}$；
（3）若D的質(zhì)量為$\frac{m}{2}$，已知D從釋放到速度最大的過(guò)程中彈簧彈性勢(shì)能的減少量△E_P=$\frac{7{m}^{2}{g}^{2}}{40k}$，D下落的最大速度是$g•\sqrt{\frac{m}{10k}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題過(guò)程較繁雜，涉及功能關(guān)系多，有彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能等之間的轉(zhuǎn)化，全面考察了學(xué)生綜合分析問(wèn)題能力和對(duì)功能關(guān)系的理解及應(yīng)用，難度較大．對(duì)于這類題目在分析過(guò)程中，要化繁為簡(jiǎn)，即把復(fù)雜過(guò)程，分解為多個(gè)小過(guò)程分析，同時(shí)要正確分析受力情況，弄清系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及功能關(guān)系．