Question

倔強(qiáng)系數(shù)為k的水平輕質(zhì)彈簧，左端固定，右端系一質(zhì)量為m的物體．物體可在有摩擦的水平桌面上滑動(dòng)（如圖）．彈簧為原長(zhǎng)時(shí)物體位于O點(diǎn)，現(xiàn)在把物體沿彈簧長(zhǎng)度方向向右拉到距離O點(diǎn)為A₀的P點(diǎn)按住，放手后彈簧把物體拉�。�設(shè)物體在第二次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)前，在O點(diǎn)左方停�。�計(jì)算中可以認(rèn)為滑動(dòng)摩擦系數(shù)與靜摩擦系數(shù)相等．
（1）討論物體與桌面間的摩擦系數(shù)μ的大小應(yīng)在什么范圍內(nèi)．
（2）求出物體停住點(diǎn)離O點(diǎn)的距離的最大值．并回答：這是不是物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所能達(dá)到的左方最遠(yuǎn)值？為什么？

Answer 1

分析：（1）物體在距離O點(diǎn)為l處停住不動(dòng)的條件是：一是物體的速度為0，彈性勢(shì)能的減小量等于克服滑動(dòng)摩擦力所做的功，二是彈簧彈力小于等于物體與水平面的最大靜摩擦力，據(jù)此分析計(jì)算動(dòng)摩擦因數(shù)的大小范圍；
（2）根據(jù)（1）的分析過(guò)程討論最遠(yuǎn)點(diǎn)距O點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）對(duì)物體運(yùn)動(dòng)做如下分析：
①物體向左運(yùn)動(dòng)并正好停在O點(diǎn)的條件是：

1

2

k

A

2 0

=μmgA0得：
μ=

1

2mg

kA0
②若μ＜

1

2mg

kA0，則物體滑過(guò)O點(diǎn)，設(shè)它到O點(diǎn)左方B處（設(shè)OB=L₁）時(shí)速度為0，則有：

1

2

k

A

2 0

-

1

2

k

L

2 1

=μmg(A0+L1)    
（2）若物體能停住，則kL₁≤μmg，故得μ≥

1

3mg

kA0
③如果②能滿足，但μ＜

1

3mg

kA0，則物體不會(huì)停在B處而要向右運(yùn)動(dòng)．μ值越小，則往右滑動(dòng)的距離越遠(yuǎn)．設(shè)物體正好停在O處，則有：

1

2

k

L

2 1

=μmgL1
得μ=

1

4mg

kA0．題目要求停在O點(diǎn)的左方，則相應(yīng)地要求μ＞

1

4mg

kA0
綜合以上分析得，物體停在O點(diǎn)左方而不是第二次經(jīng)過(guò)O點(diǎn)時(shí)，μ的取值范圍為：

kA0

4mg

＜μ＜

kA0

2mg

（2）當(dāng)μ在

1

3mg

kA0≤μ≤

1

2mg

kA0范圍內(nèi)時(shí)，物體向左滑動(dòng)直到停止而不返回，由（2）式可求出最遠(yuǎn)停住點(diǎn)（設(shè)為B₁點(diǎn)）到O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，則：
L=A0-

2μmg

k

=A0-(

2mg

k

)(

kA0

3mg

)=

A0

3

當(dāng)μ＜

1

3mg

kA0時(shí)，物體在B₁點(diǎn)（OB₁=

A0

3

）的速度大于0，因此物體將繼續(xù)向左運(yùn)動(dòng)，但它不可能停在B₁點(diǎn)的左方．因?yàn)榕cB₁點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的μ=

1

3mg

kA0，L₁=

A0

3

，如果停留在B₁點(diǎn)的左方，則物體在B₁點(diǎn)的彈力大于

kA0

3

，而摩擦力μmg=

kA0

3

，小于最大靜摩擦力，所以物體不可能停住而一定返回，最后停留在O與B₁之間．所以無(wú)論μ取何值，物體停住與O點(diǎn)的最大距離為

A0

3

，但這不是物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所能達(dá)到的左方的最遠(yuǎn)值．
答：（1）物體與桌面間的摩擦系數(shù)μ的大小應(yīng)在

kA0

4mg

＜μ＜

kA0

2mg

；
（2）求出物體停住點(diǎn)離O點(diǎn)的距離的最大值為

A0

3

這不是物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所能達(dá)到的左方最遠(yuǎn)值．原因見分析．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵抓住極限法，求出物體停在某一位置上時(shí)的條件，根據(jù)臨界條件逐一分析可能值，抓住關(guān)鍵的臨界點(diǎn)，巧用極限法討論分析是關(guān)鍵．本題是競(jìng)賽題難度較大．