Question

4．如圖所示，質量為m、半徑為R的圓形光滑絕緣軌道固定在豎直平面內，在軌道所在平面加一豎直向上的勻強電場，P，Q兩點分別為圓形軌道的最低點和最高點，在P點靜止放置一個質量為m、電荷為q的帶正電的小球A（不計空氣阻力，重力加速度為g）
（1）若小球A以速度v₀在豎直平面內沿圓形軌道做勻速圓周運動，求勻強電場的電場強度E及小球運動至Q點時對軌道的壓力F_Q；
（2）現使勻強電場的場強大小變?yōu)樵瓉淼?倍，方向不變，且將小球A置于軌道最高點Q，給小球A一個水平初速度v₁，使它沿圓形軌道運動且不脫離軌道，那么初速度v₁應滿足什么條件．

Answer 1

分析 小球A以速度v₀在豎直平面內沿圓形軌道做勻速圓周運動，電場力等于重力；結合牛頓第二定律與向心力表達式，求解壓力F_Q，結合牛頓第二定律與向心力表達式，從而即可求解．

解答 解：
（1）小球A以速度v₀在豎直平面內沿圓形軌道做勻速圓周運動，電場力等于重力；
即qE=mg
E=$\frac{mg}{q}$
牛頓第二定律與向心力表達式   N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由牛頓第三定律，得  F_Q=N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）現使勻強電場的場強大小變?yōu)樵瓉淼?倍，方向不變，牛頓第二定律與向心力表達式 
N+mg-2qE=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
當電場力大于重力時，由動能定理：-4qER+2mgR=$\frac{1}{2}$mv_p²-$\frac{1}{2}$mv₁²…①
小球恰能通過p點時，-mg+2qE=m$\frac{{v}_{p}^{2}}{R}$…②$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
聯立①②解得：v₁=$\sqrt{5gR}$；
所以要使小球能通過P點v₁≥$\sqrt{5gR}$；
答：（1）勻強電場的電場強度$\frac{mg}{q}$；及小球運動至Q點時對軌道的壓力F_Q=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
（2）初速度v₁應滿足條件v₁≥$\sqrt{5gR}$；

點評 考查動能定理與牛頓第二、三定律的應用，掌握誰提供向心力是解題的關鍵，同時注意力做功的正負