Question

1932年Earnest O．Lawrence提出回旋加速器的理論，1932年首次研制成功．它的主要結(jié)構(gòu)是在磁極間的真空室內(nèi)有兩個(gè)半圓形半徑為R的金屬扁盒（D形盒）隔開相對(duì)放置，D形盒上加交變電壓，其間隙處產(chǎn)生交變電場(chǎng)．置于中心A處的粒子源產(chǎn)生帶電粒子射出來（帶電粒子的初速度忽略不計(jì)），受到兩盒間的電場(chǎng)加速，兩盒間的狹縫很小，帶電粒子穿過的時(shí)間可以忽略不計(jì)．在D形盒內(nèi)不受電場(chǎng)，僅受磁極間磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的洛倫茲力，在垂直磁場(chǎng)平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)．粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q，在加速器中被加速，加速電壓為U，加速過程中不考慮相對(duì)論效應(yīng)和重力作用．回旋加速器的工作原理如圖．求：
（1）粒子第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后的軌道半徑之比r₂：r₁；?
（2）粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t．?
（3）實(shí)際使用中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率都有最大值的限制．若某一加速器磁感應(yīng)強(qiáng)度和加速電場(chǎng)頻率的最大值分別為B_m、f_m，試討論粒子能獲得的最大動(dòng)能E_km．

Answer 1

分析：（1）粒子經(jīng)過電場(chǎng)加速過程根據(jù)動(dòng)能定理列式，圓周運(yùn)動(dòng)過程根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式計(jì)算；
（2）求解出最大速度，得到最大動(dòng)能；再求解出每次加速獲得的動(dòng)能為qU；得到加速的次數(shù)；最后運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（3）根據(jù)洛侖茲提供向心力，求出最大動(dòng)能與磁感應(yīng)強(qiáng)度的關(guān)系以及與加速電壓頻率的關(guān)系，然后分情況討論出最大動(dòng)能的關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)粒子第1次經(jīng)過狹縫后的半徑為r₁，速度為v₁，則：
Uq=

1

2

m

v

2 1

進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子在運(yùn)動(dòng)過程中有：Bqv₁=m

v 2 1

r   1

解得：r1=

1

B

2mU q

同理，粒子第2次經(jīng)過狹縫后的半徑：r2=

1

B

4mU q

解得：

r2

r1

=

2

1

（2）設(shè)粒子共加速了n圈，則2nqU=

1

2

mv2
洛倫茲力提供向心力，則Bqv=m

v2

r

粒子運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

2πm

qB

時(shí)間與周期的關(guān)系：t=nT
解得：t=

πBR2

2U

（3）加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)該等于粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的頻率，即：f=

Bq

2πm

當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B_n時(shí)，加速電場(chǎng)的頻率應(yīng)該為：fBm=

Bnq

2πm

粒子的動(dòng)能：Ek=

1

2

mv2
當(dāng)f_Bm≤f_m時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由B_m決定，則：Bqvm=m

v2

r

解得：Ekm=

q2 B 2 m r2

2m

當(dāng)f_Bm≥f_m時(shí)，粒子的最大動(dòng)能由f_m決定，則：vm=2π

f

2 m

R2
解得：Ekm=2π2m

f

2 m

R2
答：（1）粒子第2次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后和第1次經(jīng)過兩D形盒間狹縫后的軌道半徑之比為

2

：1；?
（2）粒子從靜止開始加速到出口處所需的時(shí)間t為

πBR2

2U

；?
（3）當(dāng)f_Bm≤f_m時(shí)，粒子的最大動(dòng)能為

q2 B 2 m r2

2m

；當(dāng)f_Bm≥f_m時(shí)，粒子的最大動(dòng)能2π2m

f

2 m

R2．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確回旋加速器的工作原理，特別是要知道加速時(shí)間很短，與回旋時(shí)間相比完全可以忽略不計(jì)．