Question

3．如圖所示，豎直放置的質量為4m、長為L的圓管頂端塞有一個質量為m的彈性圓球，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．圓管從下端離地面距離為H處自由落下，落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等．不計空氣阻力．求：
（1）管第一次碰地前瞬間速度大小以及管第一次碰地后瞬間球、管各自的加速度．
（2）為使圓管第一次彈起后圓球不致滑落，L應滿足什么條件？
（3）若圓管足夠長（能保證圓球始終不滑落），則圓管從開始自由落下到最終停在地面上運動的總路程是多少？（結果用H表示）

Answer 1

分析 （1）由運動學公式求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度；
（2）根據v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對于管的加速度，以管為參考系，根據速度位移公式求出球相對于管靜止時的相對位移，即可求解；
（3）由運動學公式分析出球與管先達到相對靜止，再以共同速度上升至最高點，根據運動學公式和牛頓第二定律求出管每次彈起的高度，再求出總路程；

解答 解：（1）球與管第一次碰地前瞬間速度${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2gH}$
碰后，管受重力及向下的摩擦力：4mg+f=4ma_管
球受重力及向上的摩擦力：f-mg=ma_球
其中f=4mg
所以 a_管=2g，方向向下   a_球=3g，方向向上
（2）取豎直向下的方向為正方向，取管為參照物，則球與管相對靜止前，球相對管的加速度a_相=5g，方向向上．
碰地后瞬間管的速度${v}_{管}^{\;}=-\sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度${v}_{球}^{\;}=\sqrt{2gH}$，方向向下，
球相對于管的速度${v}_{相}^{\;}=2\sqrt{2gH}$，方向向下．
球相對管下滑的距離為：
${s}_{相1}^{\;}=\frac{{v}_{相}^{2}}{2{a}_{相}^{\;}}=\frac{（2\sqrt{2gH}）_{\;}^{2}}{2×5g}=\frac{4}{5}H$
要滿足球不滑出圓管，則有$L＞{s}_{相1}^{\;}=\frac{4}{5}$H
（3）設管從碰地到它彈到最高點所需時間為t₁（設球與管在這段時間內摩擦力方向不變），則：${t}_{1}^{\;}=\frac{-{v}_{管}^{\;}}{{a}_{管}^{\;}}=\frac{\sqrt{2gH}}{2g}$
設管從碰地到與球相對靜止所需時間為t₂，${t}_{2}^{\;}=\frac{-{v}_{相}^{\;}}{{a}_{相}^{\;}}=\frac{2\sqrt{2gH}}{5g}$
因為t₁＞t₂，說明球與管先達到相對靜止，再以共同速度上升至最高點，設球與管達到相對靜止時離地高度為h′，兩者共同速度為v′，分別為：
$v′={v}_{管}^{\;}-{a}_{管}^{\;}{t}_{2}^{\;}=\frac{1}{5}\sqrt{2gH}$
$h′={v}_{管}^{\;}{t}_{2}^{\;}-\frac{1}{2}{a}_{管}^{\;}{t}_{2}^{2}=\frac{12}{25}$H
然后球與管再以共同速度v’作豎直上拋運動，再上升高度h’’為
h″=$\frac{v{′}_{\;}^{2}}{2g}=\frac{（\frac{1}{5}\sqrt{2gH}）}{2g}=\frac{1}{25}$H
因此，管第一次上升最大高度H₁=h′+h″=$\frac{13}{25}$H
同理，管第二次上升最大高度H₂=$\frac{13}{25}{H}_{1}^{\;}$
以此類推，…
所以總路程S=H+2（H₁+H₂+…）=$\frac{19}{6}$H
答：（1）管第一次碰地前瞬間速度大小以及管第一次碰地后瞬間球、管各自的加速度為$\sqrt{2gH}$、3g、2g．
（2）為使圓管第一次彈起后圓球不致滑落，L應滿足條件L＞$\frac{4}{5}$H
（3）若圓管足夠長（能保證圓球始終不滑落），則圓管從開始自由落下到最終停在地面上運動的總路程是$\frac{19}{6}$H

點評 本題的難點在于管和球的運動情況難于判斷，關鍵通過計算理清球和管的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．