Question

3．據(jù)報道，天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的a倍，質(zhì)量是地球的b倍．已知近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為T，引力常量為G．則該行星的平均密度為（　�。�

• A． $\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• B． $\frac{π}{3{T}^{2}}$
• C． $\frac{3πb}{aG{T}^{2}}$
• D． $\frac{3πa}{bG{T}^{2}}$

Answer 1

分析 根據(jù)近地衛(wèi)星繞地球運動的周期為T，運用萬有引力提供向心力，求出地球的質(zhì)量，再求出地球的密度．再根據(jù)行星與地球密度的關(guān)系求出行星的平均密度．

解答 解：對于近地衛(wèi)星，設(shè)其質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，半徑為R，則
根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，解得地球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，地球的密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}^{2}}$，
密度公式為$ρ=\frac{M}{V}$，這顆行星的體積是地球的a倍，質(zhì)量是地球的b倍，則密度是地球的$\frac{a}$倍，可知行星的平均密度ρ=$\frac{3πb}{aG{T}^{2}}$．
故選：C．

點評 解決本題的關(guān)鍵會根據(jù)萬有引力提供向心力，只要知道近地衛(wèi)星的周期，即可求出地球的密度．