Question

如圖所示，一光滑水平面內(nèi)有一半徑為R的圓，一質(zhì)量為m的物體（可看做質(zhì)點(diǎn)）沿圖中直線從圓上的a點(diǎn)射入圓形區(qū)域，在大小為F₁力作用下在該水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，并從圓上的b點(diǎn)離開(kāi)該區(qū)域，離開(kāi)時(shí)速度方向與直線垂直．圓心O到直線的距離為

3

5

R，現(xiàn)將F₁改為平行于該平面且垂直于直線的恒力F₂，同一物體以同樣的速度沿直線從a點(diǎn)射入圓形區(qū)域，也在b點(diǎn)離開(kāi)該區(qū)域．求：
（1）物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑；
（2）F₂大小．

Answer 1

分析：（1）過(guò)b點(diǎn)和O點(diǎn)做垂直于沿圖中直線的垂線，分別于直線交與c和d點(diǎn)，由幾何關(guān)系知，線段ac、bc和過(guò)a、b兩點(diǎn)的軌跡圓弧的兩條半徑圍成一正方形，由幾何關(guān)系可以得到半徑．
（2）粒子在F₂作用下做類平拋，由平拋規(guī)律可以表示出來(lái)其大小，再由勻速圓周運(yùn)動(dòng)表示出來(lái)F₁的大小，進(jìn)而得到F₂．

解答：解：
（1）過(guò)b點(diǎn)和O點(diǎn)做垂直于沿圖中直線的垂線，分別于直線交與c和d點(diǎn)，由幾何關(guān)系知，線段ac、bc和過(guò)a、b兩點(diǎn)的軌跡圓弧的兩條半徑圍成一正方形，如圖：
因此
ab=bc=r
設(shè)cd=x，圓心O到直線的距離為

3

5

R，則ad=

4

5

R，由幾何關(guān)系得：
ac=

4

5

R+x
bc=

3

5

R+

R2-x2

聯(lián)立解得：
r=

7

5

R
（2）粒子在F₂的作用下做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)其加速度大小為a，物體在圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，由牛頓第二定律得：
F₂=ma①
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
r=

1

2

at2②
r=vt③
由②③解得：
a=

2v2

r

帶入①得：
F2=m

2v2

r

=

2mv2

r

粒子在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在a點(diǎn)的速度為v，圓周的半徑為r，由向心力公式得：
F1=m

v2

r

故：
F₂=2F₁
答：
（1）物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r=

7

5

R；
（2）F₂大小為2F₁．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，要求作圖能力，數(shù)學(xué)幾何能力都比較好才行，有點(diǎn)偏重?cái)?shù)學(xué)了．