Question

如圖所示，在空間存在這樣一個(gè)磁場區(qū)域，以MN為界，上部分的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，下部分的勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，B₁=2B₂=2B₀，方向均垂直紙面如圖所示，且磁場區(qū)域足夠大．在距離界線為h的某點(diǎn)有一帶負(fù)電荷的A離子與一不帶電的粒子B同時(shí)以某一速度以平行于界線MN的速度向右運(yùn)動(dòng)．粒子A質(zhì)量為m，帶電荷q，經(jīng)過界線MN時(shí)的速度方向與界線成60°角進(jìn)入下部分磁場．當(dāng)粒子B沿與界線平行的直線到達(dá)位置Q點(diǎn)時(shí)（Q點(diǎn)在圖中沒有標(biāo)出），恰好又與粒子A第一次相遇．不計(jì)A、B粒子的重力．求：
（1）P、Q兩點(diǎn)間距離．
（2）粒子B運(yùn)動(dòng)的速度大小．

Answer 1

分析：（1）畫出在磁場中運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，根據(jù)軌跡的對稱性，由幾何知識(shí)求出PQ間的距離．
（2）分析軌跡所對應(yīng)的圓心角，得到時(shí)間與周期的關(guān)系，即可求解粒子A從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的時(shí)間．由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式求解粒子B運(yùn)動(dòng)的速度大��；

解答：解：（1）粒子A的軌跡如圖，粒子A在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，設(shè)粒子A的速度為v₀，在MN上方運(yùn)動(dòng)半徑為R₁，運(yùn)動(dòng)周期為T₁，
根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)公式有：
qv0B1=m

v 2 0

R1

，
解得：R1=

mv0

qB1

=

mv0

2qB1

，
T1=

2πR1

v0

=

πm

qB0

，
同理．粒子A在MN下方運(yùn)動(dòng)半徑R₂和周期T₂分別為
R₂=

mv0

qB2

=

mv0

qB0

=2R1； 
T₂=

2πm

qB0

粒子A由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到MN邊界時(shí)與MN的夾角為60°，則有：
R₁-h=R₁cos60°  
得到：R₁=2h，R₂=4h．
PQ間的距離為：d=2R₂sin60°+2R₁sin60°=6

3

h
（2）粒子A從P點(diǎn)到Q點(diǎn)所用時(shí)間為t=

1

3

T1+

1

3

T2=

1

3

πm

qB0

+

1

3

?

2πm

qB0

=

πm

qB0

則粒子B的從P點(diǎn)到Q點(diǎn)速度為 v=

d

t

=

6 3 hqB0

πm

答：（1）P、Q兩點(diǎn)間距離為6

3

h．
（2）粒子B運(yùn)動(dòng)的速度大小為

6 3 hqB0

πm

．

點(diǎn)評：本題是有新穎的情景，實(shí)質(zhì)是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的類型，畫出軌跡，根據(jù)軌跡的對稱性，由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑是解決本題的關(guān)鍵．