Question

10．2013年12月2日凌晨1點(diǎn)30分，我國(guó)自行研制的“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，12月6日17時(shí)53分“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)近月制動(dòng)，順利進(jìn)入距月面高為h環(huán)月圓軌道，于12月14日21時(shí)11分成功實(shí)施月面軟著陸，實(shí)現(xiàn)我國(guó)航天器首次在地外天體的軟著陸和巡視勘探．已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，月球質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為q，月球半徑與地球半徑之比為p．求：
（1）月球表面的重力加速度．
（2）“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月軌道上運(yùn)行時(shí)的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）設(shè)月球質(zhì)量為M_月，半徑為R_月，月球表面重力加速為g_月；地球質(zhì)量為M_地，由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律列式求解
（2）萬(wàn)有引力定律及向心力公式列式求解．

解答 解：（1）“嫦娥三號(hào)”在月球表面的重力等于萬(wàn)有引力：$G\frac{{{M_月}m}}{R_月^2}=m{g_月}$
“嫦娥三號(hào)”在地球表面的重力等于萬(wàn)有引力：$G\frac{{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}=m{g}_{地}$
聯(lián)立得：$\frac{M_月}{M_地}=q$$\frac{R_月}{R_地}=p$
解得：${g_月}=\frac{p}{q^2}{g_地}$
（2）設(shè)“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月軌道上運(yùn)行時(shí)的速度，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：$m\frac{v^2}{{{R_月}+h}}=G\frac{{{M_月}m}}{{{{（{R_月}+h）}^2}}}$
聯(lián)立以上各式解得：$v=\sqrt{\frac{{qg{R^2}}}{pR+h}}$
答：（1）月球表面的重力加速度是$\frac{p}{{q}^{2}}{g}_{地}$；
（2）“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月軌道上運(yùn)行時(shí)的速度大小$\sqrt{\frac{qg{R}^{2}}{pR+h}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查萬(wàn)有引力在航空航天中的應(yīng)用，在解答的過(guò)程中注意萬(wàn)有引力定律應(yīng)用的兩個(gè)公式的選擇，研究天體運(yùn)動(dòng)時(shí)選擇萬(wàn)有引力等于向心力．