Question

(20分)如圖所示，一半徑為、折射率為的玻璃半球，放在空氣中，平表面中央半徑為的區(qū)域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆蓋整個表面．為以球心為原點，與平而垂直的坐標軸．通過計算，求出坐標軸上玻璃半球右邊有光線通過的各點（有光線段）和無光線通過的各點（無光線段）的分界點的坐標．

Answer 1

解析：

圖中畫出的是進入玻璃半球的任一光線的光路（圖中陰影處是無光線進入的區(qū)域），光線在球面上的入射角和折射角分別為和，折射光線與坐標軸的交點在。令軸上的距離為，的距離為，根據(jù)折射定律，有

                                  （1）

在中

                                  （2）

                          （3）

由式（1）和式（2）得

    

再由式（3）得

    

設點到的距離為，有

     

得

                   （4）

解式（4）可得

                    （5）

為排除上式中應舍棄的解，令，則處應為玻璃半球在光軸上的傍軸焦點，由上式

由圖可知，應有，故式（5）中應排除±號中的負號，所以應表示為

                    （6）

上式給出隨變化的關系。

因為半球平表面中心有涂黑的面積，所以進入玻璃半球的光線都有，其中折射光線與軸交點最遠處的坐標為

                      （7）

在軸上處，無光線通過。

隨增大，球面上入射角增大，當大于臨界角時，即會發(fā)生全反射，沒有折射光線。與臨界角相應的光線有

這光線的折射線與軸線的交點處于

                             （8）

在軸上處沒有折射光線通過。

由以上分析可知，在軸上玻璃半球以右

                                       （9）

的一段為有光線段，其它各點屬于無光線段。與就是所要求的分界點，如圖所示

評分標準：本題20分。

求得式（7）并指出在軸上處無光線通過，給10分；求得式（8）并指出在軸上處無光線通過，給6分；得到式（9）并指出上有光線段的位置，給4分。