Question

如圖所示，火箭栽著宇宙探測(cè)器飛向某行星，火箭內(nèi)平臺(tái)上還放有測(cè)試儀器．火箭從地面起飛時(shí)，以加速度

g0

2

豎直向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)（g₀為地面附近的重力加速度），已知地球半徑為R．
（1）到某一高度時(shí)，測(cè)試儀器對(duì)平臺(tái)的壓力是剛起飛時(shí)壓力的

17

18

，求此時(shí)火箭離地面的高度h．
（2）探測(cè)器與箭體分離后，進(jìn)入行星表面附近的預(yù)定軌道，進(jìn)行一系列科學(xué)實(shí)驗(yàn)和測(cè)量，若測(cè)得探測(cè)器環(huán)繞該行星運(yùn)動(dòng)的周期為T₀，試問(wèn)：該行星的平均密度為多少？（假定行星為球體，且已知萬(wàn)有引力恒量為G）

Answer 1

分析：1、以測(cè)試儀器為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律求出某一高度處的重力加速度，再由重力等于萬(wàn)有引力，代入數(shù)據(jù)求解火箭離地面的高度．
2、現(xiàn)根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出行星的質(zhì)量，再根據(jù)密度的定義式，計(jì)算密度．

解答：解：（1）火箭剛起飛時(shí)，以測(cè)試儀為研究對(duì)象，受地球引力mg₀、平臺(tái)的支持力N₁，有：
N1-mg0=ma=m×

g0

2

N1=

3

2

mg0
根據(jù)牛頓第三定律，起飛時(shí)測(cè)試儀器對(duì)平臺(tái)的壓力大小為N′=

3

2

mg0．
設(shè)火箭離地高為h時(shí)，平臺(tái)對(duì)測(cè)試儀器的支持力為N₂，則有：N2-

GMm

(R+h)2

=m×

g0

2

，其中G為萬(wàn)有引力恒量，M為地球質(zhì)量．
在地面附近，有：G

Mm

R2

=mg0
則：N2=(

R

R+h

)2mg0+

mg0

2

=

17

18

N1=

17

18

×

3

2

mg0
于是得到：h=

(2 3 - 11 )

11

R
（2）設(shè)行星質(zhì)量為M，行星平均密度為ρ，

GMm

R2

=m

4π2

T2

R
又有：M=

4

3

πR3ρ
得：ρ=

3π

GT02

．
答（1）到某一高度時(shí)，測(cè)試儀器對(duì)平臺(tái)的壓力是剛起飛時(shí)壓力的

17

18

，此時(shí)火箭離地面的高度h為

(2 3 - 11 )

11

R．
（2）探測(cè)器與箭體分離后，進(jìn)入行星表面附近的預(yù)定軌道，進(jìn)行一系列科學(xué)實(shí)驗(yàn)和測(cè)量，若測(cè)得探測(cè)器環(huán)繞該行星運(yùn)動(dòng)的周期為T₀，則該行星的平均密度為

3π

GT02

．

點(diǎn)評(píng)：本題中g(shù)=

GM

(R+h)2

稱為黃金代換式，反映了重力加速度與高度的關(guān)系，可根據(jù)重力與萬(wàn)有引力推導(dǎo)出來(lái)的．