Question

8．質(zhì)譜分析技術(shù)已廣泛應(yīng)用于各前沿科學(xué)領(lǐng)域．湯姆孫發(fā)現(xiàn)電子的質(zhì)譜裝置示意如圖，該裝置也可以測定電子的比荷．M、N為兩塊水平放置的平行金屬極板，板長為L，板右端到屏的距離為D，O′O為垂直于屏的中心軸線，不計(jì)電子重力．以屏中心O為原點(diǎn)建立xOy直角坐標(biāo)系，其中x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向．
（1）一細(xì)束電子流，以平行于金屬板的速度沿O′O的方向從O′點(diǎn)射入，板間不加電場和磁場時(shí)，電子打在屏上O點(diǎn)．若在兩極板間加一沿-y方向場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場，電子射到屏上時(shí)偏離O點(diǎn)的距離為y₁，若保留原電場，再在板間加一沿+x方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，則電子在熒光屏上產(chǎn)生的亮點(diǎn)又回到O．求電子的比荷$\frac{q}{m}$．
（2）如果把上述所加的電場去掉，只保留磁場，則電子在熒光屏上產(chǎn)生的亮點(diǎn)又會(huì)偏離O點(diǎn)．電子在MN板間偏離O’O的距離遠(yuǎn)小于亮點(diǎn)偏離O點(diǎn)的距離，可以忽略不計(jì)．求亮點(diǎn)偏離O點(diǎn)的距離y₂為多大？

Answer 1

分析 （1）電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律求出在電場中偏離OO′的距離為y₀，根據(jù)Bqv=Eq求出速度v，再根據(jù)幾何關(guān)系求解；
（2）電子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，離開磁場后做勻速運(yùn)動(dòng)，如上圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解半徑，再根據(jù)三角形相似求解．

解答 解：（1）電子在電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，在電場中偏離OO′的距離為y₀，則有：${y_0}=\frac{1}{2}a{t^2}=\frac{{Eq{L^2}}}{{2m{v^2}}}$
根據(jù)Bqv=Eq得：$v=\frac{E}{B}$
根據(jù)幾何關(guān)系得：$\frac{y_1}{y_0}=\frac{{D+\frac{L}{2}}}{{\frac{L}{2}}}$
解得：$\frac{q}{m}=\frac{{2{y_1}E}}{{（2D+L）{B^2}L}}$
（2）電子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)，離開磁場后做勻速運(yùn)動(dòng)，如上圖，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：
$Bqv=m\frac{v^2}{r}$
解得：$r=\frac{mv}{Bq}=\frac{mE}{{{B^2}q}}$
由相似三角形可知$\frac{y_2}{{\sqrt{{D^2}+y_2^2}}}=\frac{L}{r}$
${y_2}=\sqrt{\frac{{{D^2}{L^2}}}{{{r^2}-{L^2}}}}$
得：${y_2}=2{y_1}D\sqrt{\frac{1}{{{{（2D+L）}^2}-4y_1^2}}}$．
答：（1）電子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{2{y}_{1}E}{（2D+L）{B}^{2}L}$．
（2）亮點(diǎn)偏離O點(diǎn)的距離y₂為$2{y}_{1}D\sqrt{\frac{1}{{（2D+L）}^{2}-4{y}_{1}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查帶電粒子在電場、磁場中的運(yùn)動(dòng)，但磁場的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了洛倫茲力提供向心力的情況．同時(shí)還體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)的合成與分解，注意幾何關(guān)系在解題時(shí)的應(yīng)用，難度適中．