Question

16．當(dāng)一個(gè)較為復(fù)雜的物理過程在某一方面的特征與一個(gè)簡單的物理過程特征相同時(shí)，我們可以通過研究簡單物理過程的規(guī)律了解復(fù)雜的物理過程．如對平拋運(yùn)動(dòng)的研究可以轉(zhuǎn)化為研究豎直方向和水平方向的直線運(yùn)動(dòng)．

（1）小球在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在水平地面上形成投影的運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，這是可以證明的結(jié)論．設(shè)小球的質(zhì)量為m，角速度為ω，半徑為A，從開始計(jì)時(shí)經(jīng)時(shí)間t小球位置如圖1所示．
a．取過圓心O水平向右為x軸，則小球的位移在x軸方向上的分量可表示為x=Asinωt．以此為例，寫出小球在x軸方向的速度v_x、加速度a_x及合外力F_x隨時(shí)間t的變化關(guān)系．
b．物體做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，回復(fù)力應(yīng)該滿足F=-kx．則反映該投影是簡諧運(yùn)動(dòng)中的k值是多少？
（2）如圖2所示，光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌間距為L，左端接一阻值為R的定值電阻；導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向與導(dǎo)軌平面垂直．一根與導(dǎo)軌垂直的銅棒在導(dǎo)軌上做振幅為A的簡諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)周期為T．已知銅棒電阻為r，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)．
a．在圖3中畫出通過電阻R的電流i隨時(shí)間t變化的圖象．
b．求在一個(gè)周期T內(nèi)，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）a、根據(jù)線速度v=ωA，向心加速度a=ω²A，合外力F=mω²A求解在x軸方向的速度v_x、加速度a_x及合外力F_x隨時(shí)間t的變化關(guān)系；
b、根據(jù)小球在x軸方向上為簡諧運(yùn)動(dòng)的回復(fù)力計(jì)算公式求解k的值；
（2）a、流過R的電流是正（余）弦交流電，由此作圖；
b、求解電流的有效值，根據(jù)焦耳定律進(jìn)行解答．

解答 解：（1）a．對勻速圓周運(yùn)動(dòng)，線速度v=ωA，向心加速度a=ω²A，合外力F=mω²A．
在x軸方向上，有：
v_x=ωAcosωt，
${a}_{x}=-{ω}^{2}Asinωt$，
F_x=-mω²Asinωt，
b．小球在x軸方向上為簡諧運(yùn)動(dòng)，故F_x=-kx
所以k=mω²
（2）a．流過R的電流是正（余）弦交流電．

b．將導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)，可得導(dǎo)體棒切割磁感線的最大速度${v}_{m}=\frac{2πA}{T}$，
由 E_m=BLv_m可得：${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R+r}=\frac{BL{v}_{m}}{R+r}$，
電流強(qiáng)度有效值：I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$，
根據(jù)焦耳定律可得：Q=I²RT，
聯(lián)立以上各式，得Q=$\frac{2{π}^{2}{A}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{T（R+r）^{2}}R$．
答：（1）a．小球在x軸方向的速度v_x=ωAcosωt、加速度${a}_{x}=-{ω}^{2}Asinωt$、合外力F_x=-mω²Asinωt．
b．物體做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，回復(fù)力應(yīng)該滿足F=-kx．則反映該投影是簡諧運(yùn)動(dòng)中的k值是mω²；
（2）a．電流i隨時(shí)間t變化的圖象見解析圖．
b．在一個(gè)周期T內(nèi)，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{2{π}^{2}{A}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}{T{（R+r）}^{2}}R$．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動(dòng)能定理、功能關(guān)系等列方程求解；解答本題要能夠根據(jù)線速度與角速度的關(guān)系、加速度速度與角速度的關(guān)系得到線速度和加速度的表達(dá)式．