Question

3．如圖1所示，四條水平虛線等間距的分布在同一豎直面上，間距均為h．在Ⅰ、Ⅱ兩區(qū)間分布著完全相同，方向水平向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度的大小按圖2B-t圖變化．現(xiàn)有一個長方形金屬線框ABCD，質(zhì)量為m，電阻為R，AB=CD=L，AD=BC=2h．用一輕質(zhì)的細線把線框ABCD豎直懸掛，AB邊與M₂N₂重合（仍位于磁場中）．t₀（未知）時刻磁感應(yīng)強度為B₀（已知），且此時刻細線恰好松弛．之后剪斷細線，當(dāng)CD邊到達磁場Ⅱ區(qū)的中間位置時線框恰好勻速運動．空氣阻力不計，重力加速度為g．

（1）求t₀的值；
（2）求線框AB邊到達M₄N₄時的速率v；
（3）從剪斷細線到整個線框通過兩個磁場區(qū)域的過程中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）細線恰好松弛，線框受力平衡，安培力等于重力，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律可得出t₀的值
（2）線框的CD邊到達M₃N₃前一直做自由落體運動，根據(jù)運動學(xué)公式列式求解即可；
（3）根據(jù)能量守恒得：重力勢能減少量等于線框動能與內(nèi)能之和．

解答 解：（1）細線恰好松弛，線框受力分析有：
B₀IL=mg
根據(jù)閉合電路歐姆定律，有：
$I=\frac{E}{R}$                                              
因感生產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢：
$E=\frac{△φ}{△t}=\frac{{{B_0}Lh}}{t_0}$        
聯(lián)立解得：
${t_0}=\frac{{{B_0}^2{L^2}h}}{mgR}$
（2）線框AB邊到達M₄N₄的過程中一直做自由落體運動，根據(jù)動能定理，有：
$mg2h=\frac{1}{2}mv_1^2$
解得：${v_1}=\sqrt{4gh}$
（3）CD邊到達磁場Ⅱ區(qū)的中間位置時線框恰好勻速運動，線框受力分析有：
B₀I'L=mg
根據(jù)閉合電路歐姆定律，有：
$I'=\frac{E'}{R}$
因CD棒切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢：
E'=B₀Lv'
解得：$v'=\frac{mgR}{{B_0^2{L^2}}}$
解法一：當(dāng)CD邊到達M₃N₃時的速度設(shè)為v₂
根據(jù)動能定理：$mg3h=\frac{1}{2}mv_2^2$
解得：${v_2}=\sqrt{6gh}$
從CD邊穿過磁場Ⅱ的過程中，根據(jù)能量守恒得：重力勢能減少量等于線框動能變化與電熱之和：
$mgh=Q+\frac{1}{2}m{v'^2}-\frac{1}{2}m{v_2}^2$
解得：$Q=4mgh-\frac{{{m^3}{g^2}{R^2}}}{{2B_0^4{L^4}}}$
解法二：線框從靜止開始下落到CD邊剛離開M₄N₄的過程中，根據(jù)能量守恒得：重力勢能減少量等于線框動能變化與電熱之和：
$mg4h=Q+\frac{1}{2}m{v'^2}$
解得：$Q=4mgh-\frac{{{m^3}{g^2}{R^2}}}{{2B_0^4{L^4}}}$
答：（1）t₀的值為$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}h}{mgR}$；
（2）線框AB邊到達M₄N₄時的速率v為$\sqrt{4gh}$；
（3）從剪斷細線到整個線框通過兩個磁場區(qū)域的過程中產(chǎn)生的熱量為$4mgh-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題為力電綜合題，難度較大，要注意挖掘隱含條件，巧妙應(yīng)用動能定理和能量守恒定律，同時要明白克服安培力做功過程就是產(chǎn)生電能的過程，并且二者的數(shù)值上相等．