Question

19．如圖所示，小球從光滑的半徑為t圓弧軌道下滑至水平軌道末端時(shí)，光電裝置被觸動，控制電路會使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速連續(xù)轉(zhuǎn)動起來．轉(zhuǎn)筒的底面半徑為R，已知軌道末端與轉(zhuǎn)筒上部相平，與轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)軸距離為L，且與轉(zhuǎn)筒側(cè)壁上的小孔的高度差為h；開始時(shí)轉(zhuǎn)筒靜止，且小孔正對著軌道方向．現(xiàn)讓一小球從圓弧軌道上的某處無初速滑下，若正好能鉆入轉(zhuǎn)筒的小孔（小孔比小球略大，小球視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g），求：
（1）小球到達(dá)圓弧軌道的最低端時(shí)對軌道的作用力；
（2）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動的時(shí)間，結(jié)合水平位移和時(shí)間求出離開圓弧軌道的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出軌道對球的支持力，從而得出球到達(dá)圓弧軌道的最低端時(shí)對軌道的作用力；
（2）抓住小球做平拋運(yùn)動的時(shí)間與圓筒轉(zhuǎn)動的時(shí)間相等，結(jié)合圓周運(yùn)動的周期性求出轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度．

解答 解：（1）小球離開軌道到進(jìn)入小孔的過程做平拋運(yùn)動，由平拋規(guī)律，得
水平方向：L-R=v₀t，
豎直方向：h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
小球在軌道的最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律，得：$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
由以上解得：F=mg+mg$\frac{（L-R）^{2}}{2hr}$．
由牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力大小為mg+mg$\frac{（L-R）^{2}}{2hr}$，方向豎直向下．
（2）小球在平拋運(yùn)動的時(shí)間內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆進(jìn)小孔，即：
ωt=2nπ，
所以解得：$ω=nπ\(zhòng)sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1、2、3…）．
答：（1）小球到達(dá)圓弧軌道的最低端時(shí)對軌道的作用力為mg+mg$\frac{（L-R）^{2}}{2hr}$，方向豎直向下；
（2）轉(zhuǎn)筒轉(zhuǎn)動的角速度$ω=nπ\(zhòng)sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評 本題考查了平拋運(yùn)動和圓周運(yùn)動的綜合運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律以及圓周運(yùn)動的周期性是解決本題的關(guān)鍵．