Question

如圖所示，豎直放置的氣缸內(nèi)盛有氣體，上面被一活塞蓋住，活塞通過(guò)勁度系數(shù)k＝600N/m的彈簧與氣缸相連接，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，已知此時(shí)外界大氣壓強(qiáng)p0＝1.00×10⁵N/m2，活塞到缸底的距離l＝0.500m，缸內(nèi)橫截面積S＝1.00×10²m²，今在等溫條件下將活塞緩慢上提到距缸底為2l處，此時(shí)提力為F＝500N，彈簧的原長(zhǎng)l0應(yīng)為多少？若提力為F＝700N，彈簧的原長(zhǎng)l0又應(yīng)為多少？

不計(jì)摩擦及活塞和彈簧的質(zhì)量，并假定在整個(gè)過(guò)程中，氣缸不漏氣，彈簧都遵從胡克定律。

Answer 1

解答一：

設(shè)彈簧的原長(zhǎng)為，氣體原來(lái)壓強(qiáng)為p，后來(lái)為p′，則由玻意耳定律可得

pl＝p′?2              ①

在原來(lái)狀態(tài)下，活塞受力如圖1所示，由力學(xué)平衡可得

pS＝p₀S＋k(-)         ②

在后來(lái)狀態(tài)下,活塞受力如圖2所示,由力學(xué)平衡可得

p′S＋F＝p₀S＋k(2－)   ③

由①、②、③聯(lián)立解得：         ④

由式得：      ⑤  

當(dāng)F＝500N時(shí)，由④式得p＝0.4p₀ 再代入⑤式得＝1.50m，可見(jiàn)在整個(gè)過(guò)程中彈簧始終處于壓縮狀態(tài)。

當(dāng)F＝700N時(shí)，由④式得p＝0.8p₀ 再代入⑤式得＝0.833m，可見(jiàn)在過(guò)程開(kāi)始時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)，當(dāng)活塞提高到距缸底距離超過(guò)＝0.833m后，彈簧被拉伸。

解答二：

設(shè)開(kāi)始時(shí)彈簧的壓縮量為(當(dāng)?shù)贸?sub>為負(fù)值．則表示開(kāi)始時(shí)彈簧被拉長(zhǎng))，原長(zhǎng)為。依題意得方程：

p₀S＝pS＋kx              ①

p₀S＝p′S－k(－2x)＋F     ②

p′S?2(l₀－x) ＝pS(－x)     ③

＝l＋x                  ④

由①、②、③、④式聯(lián)立，解得：     ⑤

當(dāng)F＝500 N時(shí)，代入⑤式，得x＝1.00 m，＝1.50 m。

當(dāng)F＝700 N時(shí)，代入⑤式，得x＝0.333 m，＝0.833 m。