Question

19．一列火車由等長(zhǎng)的車廂組成，車廂之間的間隙忽路不計(jì)，一個(gè)人站在站臺(tái)上與第一節(jié)車廂的最前端相齊．當(dāng)列車由靜止開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)開始計(jì)時(shí)．測(cè)量第一節(jié)車廂遇過(guò)他所用的時(shí)間為2s
求：
（1）10s內(nèi)總共有多少節(jié)車廂通過(guò)他的面前？
（2）第4節(jié)車廂完全通過(guò)他用了多長(zhǎng)時(shí)間？第5節(jié)車廂到第8節(jié)車廂完全通過(guò)他又用了多長(zhǎng)時(shí)間？
（3）第1節(jié)車廂末端，第5節(jié)車廂末端通過(guò)他時(shí)，瞬時(shí)速度之比是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間公式，聯(lián)立方程求出10s內(nèi)通過(guò)車廂的節(jié)數(shù)．
（2）根據(jù)初速度為零勻加速直線運(yùn)動(dòng)相等位移所用的時(shí)間之比，得出第4節(jié)車廂通過(guò)他的時(shí)間，根據(jù)位移時(shí)間公式求出第5節(jié)車廂到第8節(jié)車廂完全通過(guò)他所用的時(shí)間．
（3）根據(jù)速度位移公式求出第1節(jié)車廂末端，第5節(jié)車廂末端通過(guò)他時(shí)瞬時(shí)速度之比．

解答 解：（1）設(shè)一節(jié)車廂的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，有：L=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=2a$，
10s內(nèi)的位移為：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×a×100=50a$，
共有車廂的節(jié)數(shù)為：n=$\frac{x}{L}=\frac{50a}{2a}=25$．
（2）因?yàn)槌跛俣葹榱愕膭蚣铀僦本�運(yùn)動(dòng)，在相等時(shí)間位移所用的時(shí)間之比為1：$（\sqrt{2}-1）：（\sqrt{3}-\sqrt{2}）：$…$（\sqrt{n}-\sqrt{n-1}）$，
則第一節(jié)車廂和第四節(jié)車廂通過(guò)的時(shí)間之比為1：$（2-\sqrt{3}）$，
所以第4節(jié)車廂通過(guò)的時(shí)間為：${t}_{4}=（4-2\sqrt{3}）s$．
因?yàn)長(zhǎng)=$\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$，則${t}_{1}=\sqrt{\frac{2L}{a}}$，
5節(jié)車廂全部通過(guò)所需的時(shí)間為：${t}_{5}=\sqrt{\frac{2×5L}{a}}=\sqrt{\frac{10L}{a}}$，
8節(jié)車廂全部通過(guò)所需的時(shí)間為：${t}_{8}=\sqrt{\frac{2×8L}{a}}=\sqrt{\frac{16L}{a}}$，
第5節(jié)車廂到第8節(jié)車廂完全通過(guò)所需的時(shí)間為：$t′={t}_{8}-{t}_{5}=\sqrt{\frac{16L}{a}}-\sqrt{\frac{10L}{a}}=\sqrt{\frac{2L}{a}}（\sqrt{8}-\sqrt{5}）$，
可知：$t′=（\sqrt{8}-\sqrt{5}）{t}_{1}=（4\sqrt{2}-2\sqrt{5}）s$．
（3）根據(jù)速度位移公式v²=2ax得：${v}_{1}=\sqrt{2aL}$，${v}_{5}=\sqrt{2a×5L}$，
所以${v}_{1}：{v}_{5}=1：\sqrt{5}$．
答：（1）10s內(nèi)總共有25節(jié)車廂通過(guò)他的面前；
（2）第4節(jié)車廂完全通過(guò)他用了$（4-2\sqrt{3}）s$；第5節(jié)車廂到第8節(jié)車廂完全通過(guò)他又用了$（4\sqrt{2}-2\sqrt{5}）s$；
（3）第1節(jié)車廂末端，第5節(jié)車廂末端通過(guò)他時(shí)，瞬時(shí)速度之比是1：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握勻變速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和推論，并能靈活運(yùn)用，有時(shí)運(yùn)用推論求解會(huì)使問題更加簡(jiǎn)捷．