Question

6．如圖所示，光滑水平面AB=x，其右端B處連接一個半徑為R的豎直光滑半圓軌道，C為最高點．質量為m可視為質點的小物塊靜止在A處，若用水平恒力將小物塊推到B處后撤去該水平恒力，重力加速度為g，求：
（1）如果小物塊能夠通過半圓軌道的最高點C，水平恒力對小物塊做的最小功為多少；
（2）如果小物塊沿半圓軌道運動到C處后恰好拋落到A處，則X取何值時，在整個運動過程中，水平恒力F最��？最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）對小物塊在C點應用牛頓第二定律求得速度范圍，然后對A到C的運動過程應用動能定理即可求解；
（2）根據平拋運動規(guī)律將C點處速度用x表示，然后對整個過程應用動能定理求得F的表達式，即可求得最小值．

解答 解：（1）小物塊能夠通過半圓軌道的最高點C，對小物塊在C點應用牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$；
對小物塊從A到C應用動能定理可得：${W}_{F}-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0≥\frac{1}{2}mgR$，所以，水平恒力對小物塊做的最小功為${W}_{Fmin}=\frac{5}{2}mgR$；
（2）質點做平拋運動回到A點，設質點經過C點時速度為v_C，由平拋運動規(guī)律有：小球在豎直方向做自由落體運動：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$；
小球在水平方向做勻速直線運動：$x={v}_{C}t=2{v}_{C}\sqrt{\frac{R}{g}}$，所以，${v}_{C}=\frac{x}{2}\sqrt{\frac{g}{R}}$；
小球從A到C過程只有推力F和重力對物體做功，故由動能定理有：$Fx-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$；
所以，$F=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgR}{x}$=$\frac{\frac{1}{2}m×\frac{{x}^{2}}{4}×\frac{g}{R}+2mgR}{x}$=$mg（\frac{x}{8R}+\frac{2R}{x}）$；
故當$\frac{x}{8R}=\frac{2R}{x}$，即x=4R時，F(xiàn)取得最小值，F(xiàn)_min=mg；
答：（1）如果小物塊能夠通過半圓軌道的最高點C，水平恒力對小物塊做的最小功為$\frac{5}{2}mgR$；
（2）如果小物塊沿半圓軌道運動到C處后恰好拋落到A處，則X取4R時，在整個運動過程中，水平恒力F最��；最小值為mg．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．