Question

如圖所示，兩根相距為d的足夠長的、光滑的平行金屬導(dǎo)軌位于水平的xoy平面內(nèi)，左端接有阻值為R的電阻，其他部分的電阻均可忽略不計(jì)。在x>0的一側(cè)存在方向豎直向下的磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小按B=kx變化（式中k＞0，且為常數(shù)）。質(zhì)量為m的金屬桿與金屬導(dǎo)軌垂直架在導(dǎo)軌上，兩者接觸良好。在x＜0的某位置，金屬桿受到一瞬時(shí)沖量，獲得速度大小為v₀，方向沿x軸正方向。求：

（1）在金屬桿運(yùn)動(dòng)過程中，電阻R上產(chǎn)生的總熱量；

（2）若從金屬桿進(jìn)入磁場的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，始終有一個(gè)方向向左的變力F作用于金屬桿上，使金屬桿的加速度大小恒為a，方向一直沿x軸負(fù)方向。求：

a．閉合回路中感應(yīng)電流持續(xù)的時(shí)間；

b．金屬桿在磁場中運(yùn)動(dòng)過程中，外力F與時(shí)間t關(guān)系的表達(dá)式？

Answer 1

解析：

（1）金屬桿向右運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，同時(shí)金屬桿受安培力，做減速運(yùn)動(dòng)，直到停下。在此過程中，金屬桿的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能再轉(zhuǎn)化成電阻R的焦耳熱。根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒，電阻R上產(chǎn)生的熱                     （4分）

（2）a．金屬桿在磁場中做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電流，金屬桿受安培力和變力F的作用做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，加速度為a方向向左（沿-x方向）。它先向右運(yùn)動(dòng)，速度由v₀減到0；然后向左運(yùn)動(dòng)，速度再由0增大到v₀，金屬桿回到x=0處，之后金屬桿離開磁場。金屬桿向右或向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，都切割磁感線，回路中都有感應(yīng)電流。

感應(yīng)電流持續(xù)的時(shí)間為。                                  （4分）

  b．設(shè)金屬桿的速度和它的坐標(biāo)分別為v和x，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有

         

         

  金屬桿切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢

                                (3分)

由于在x<O區(qū)域不存在磁場，故只有在時(shí)間t < T=范圍內(nèi)，上述關(guān)系式才成立。由歐姆定律可得回路中的電流為

                             (3分)

金屬桿所受的安培力為

          （向左為正方向）        (2分)

金屬桿受安培力和變力F做勻變速運(yùn)動(dòng)，以向左方向?yàn)檎�方向，由牛頓第二定律有

              

可得                      (2分)