Question

如圖所示，光滑的平行長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，間距為L(zhǎng)、導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m電阻為r的導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上．導(dǎo)軌的電阻均不計(jì)，且接觸良好．在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．開(kāi)始時(shí)，導(dǎo)體棒靜止于磁場(chǎng)區(qū)域的右端，當(dāng)磁場(chǎng)以速度v₁勻速向右移動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒隨之開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒同時(shí)受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達(dá)到恒定速度，此時(shí)導(dǎo)體棒仍處于磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)．
（1）為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，阻力最大不能超過(guò)多少？
（2）求導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v₂；
（3）導(dǎo)體棒以恒定速度v₂運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功和電路中R消耗的電功率各為多大？

Answer 1

分析：（1）為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體棒所受的阻力最大不能超過(guò)此時(shí)所受的安培力，根據(jù)E=BLv₁、I=

E

R+r

、F=BIL，求出安培力即可求解．
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v₂時(shí)，回路中總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BL（v₁-v₂），電流I=

E

R+r

、F=BIL得到安培力表達(dá)式，根據(jù)平衡條件求得v₂；
（3）導(dǎo)體棒以恒定速度v₂運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功即為克服阻力做功的功率，由P=fv₂求解．根據(jù)公式P=I²R求解電路中R消耗的電功率．

解答：解：（1）當(dāng)磁場(chǎng)以速度v₁勻速向右移動(dòng)時(shí)，則有
   E=BLv₁、I=

E

R+r

、F=BIL，
聯(lián)立得到  安培力為F=

B2L2v1

R+r

為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，阻力最大不能超過(guò)F，即阻力最大值為
f_m=F=

B2L2v1

R+r

（2）導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v₂時(shí)，根據(jù)E=BL（v₁-v₂），I=

E

R+r

，
得導(dǎo)體棒所受的安培力F=BIL=

B2L2(v1-v2)

R+r

由于速度恒定時(shí)，則有：

B2L2(v1-v2)

R+r

=f，
可得：v₂=v₁-

f(R+r)

B2L2

（3）導(dǎo)體棒以恒定速度v₂運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功即克服阻力做功的功率為
 P_{導(dǎo)體棒}=Fv₂=fv₂=fv1-

f2(R+r)

B2L2

電路中R消耗的電功率為
  P_電路=I²R=

E2R

(R+r)2

=

B2L2(v1-v2)2R

(R+r)2

=

f2R

B2L2

答：（1）為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，阻力最大不能超過(guò)

B2L2v1

R+r

．
（2）導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v₂為v₁-

f(R+r)

B2L2

．
（3）導(dǎo)體棒以恒定速度v₂運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功為fv1-

f2(R+r)

B2L2

，電路中R消耗的電功率為

f2R

B2L2

．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵推導(dǎo)安培力的表達(dá)式，安培力是聯(lián)系電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)的橋梁，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律等等知識(shí)即得到其表達(dá)式．