Question

19．如圖所示，在xoy坐標系第二象限內有一圓形勻強磁場區(qū)域，半徑為l₀，圓心O′坐標為（-l₀，l₀），磁場方向垂直xoy平面．在坐標（-l₀，2l₀）的P點，兩個電子a、b以相同的速率v沿不同方向從P點同時射入磁場，電子a的入射方向為y軸負方向，b的入射方向與y軸負方向夾角為θ=45°．電子a經過磁場偏轉后從y軸上的 Q（0，l₀）點進入第一象限，在第一象限內緊鄰y軸有沿y軸正方向的勻強電場，場強大小為$\frac{m{v}^{2}}{e{l}_{0}}$，勻強電場寬為$\sqrt{2}$l₀．已知電子質量為m、電荷量為e，不計重力及電子間的相互作用．求：
（1）磁場的磁感應強度B的大小
（2）a、b兩個電子經過電場后到達x軸的坐標差△x
（3）a、b兩個電子從P點運動到達x軸的時間差△t．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由幾何關系可知電子的運動半徑，由洛侖茲力充當向心力可求得磁感應強度B；
（2）電子在電場中做類平拋運動，其中b粒子離開電場后做直線運動，由運動學規(guī)律可求得兩電子到達x軸上的坐標值，進而求得坐標差
（3）分別求出兩電子在磁場和電場中的時間，即可求得兩電子從P運動到x軸的時間差．

解答 解：（1）
兩電子軌道如圖，有圖可知，a電子做圓周圓周運動的半徑為R=l₀
$Bve=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得B=$\frac{mv}{e{l}_{0}}$
（2）a在電場中$y=\frac{1}{2}{at}_{1}^{2}$
$a=\frac{eE}{m}$
$\sqrt{2}{l}_{0}=v{t}_{2}$
可得y=l₀，即a電子恰好擊中x軸上的$\sqrt{2}{l}_{0}$位置，
對b分析可知PO′NO″為菱形，所以PO′與O″N平行，有因PO′垂直于x軸，所以粒子出場速度平行于x軸，即b粒子經過磁場偏轉后也恰好沿x軸正方向進入電場
由${y}_=r+rcos45°={l}_{0}+\frac{\sqrt{2}}{2}{l}_{0}$
當b在電場中沿y方向運動l₀后，沿與x軸方向成θ做勻速直線運動，
tan$θ=\frac{{v}_{y}}{v}$
v_y=at₁
由tan$θ=\sqrt{2}$
可得$tanθ=\frac{{y}_-{y}_{a}}{△x}$
解得$△x=\frac{{l}_{0}}{2}$
（3）在磁場中，由t=$\frac{2π{l}_{0}}{v}$
ab在磁場中運動的時間差為△t₁
$\frac{△{t}_{1}}{T}=\frac{△θ}{2π}$
$△θ=\frac{π}{2}-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$
$△{t}_{1}=\frac{T}{8}$
所以$△{t}_{1}=\frac{π{l}_{0}}{4v}$
b在第二象限內無場區(qū)域的勻速運動時間為△t₂
$△{t}_{2}=\frac{r-rcos45°}{v}=\frac{（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）{l}_{0}}{v}$
ab在第一象限內運動的時間差為$△{t}_{3}=\frac{△x}{v}=\frac{{l}_{0}}{2v}$
所以時間差為$△t=△{t}_{1}+△{t}_{2}+△{t}_{3}=\frac{{l}_{0}}{4}（6-π-2\sqrt{2}）$
答：（1）磁場的磁感應強度B的大小$\frac{mv}{e{l}_{0}}$
（2）a、b兩個電子經過電場后到達x軸的坐標差△x$\frac{{l}_{0}}{2}$
（3）a、b兩個電子從P點運動到達x軸的時間差△t$\frac{{l}_{0}}{4}（6-π-2\sqrt{2}）$

點評 本題考查帶電粒子在磁場和電場中的運動，要注意電子在磁場中做勻速圓周運動，在磁場中做平拋運動，要求正確利用好幾何關系進行分析．