Question

20．在如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，空間分布著沿z軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（z軸正方向垂直紙面向 里）．x=0為磁場(chǎng)分界面，在x＞0的區(qū)域內(nèi)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁，在x＜0的區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂，且B₁=3B₀、B₂=4B₀．在t=0時(shí)刻，處于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)量為m的靜止中性粒子分裂為兩個(gè)帶電粒子a和b，a、b質(zhì)量之比m_a：m_b=17：7．已知中性粒子分裂后瞬間，粒子a的速度為v_a，且沿x軸正方向，粒子a帶電量為+q． 設(shè)整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域都處于真空中，且不考慮粒子重力及分裂后a、b兩粒子的相互作用力．求：
（1）分裂后瞬間b的速度大�。�
（2）分裂后，粒子a、b在B₁區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的半徑之比和周期之比．
（3）粒子a、b從分裂到相遇于分界面所經(jīng)歷的時(shí)間是多少？并求出相遇處的y坐標(biāo)（結(jié)果中的磁感應(yīng)強(qiáng)度用B₀表示）．

Answer 1

分析 （1）分裂前后動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒就能求出粒子b的速度大小，方向與a方向相反．
（2）分裂后的兩個(gè)粒子分別在B₁和B₂中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力就能求出半徑，加上題設(shè)已知條件就能求出半徑之比和周期之比．
（3）作a、b分裂后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡示意圖，經(jīng)分析，b經(jīng)歷整數(shù)個(gè)周期加半個(gè)周期，a經(jīng)歷整數(shù)個(gè)周期，二者才可能相遇于分界面．

解答 解：（1）由m_a：m_b=17：7    得${m}_{a}=\frac{17}{24}m$，${m}_=\frac{7}{24}m$  
中性粒子分裂，動(dòng)量守恒m_av_a=m_bv_b    
所以v_b=$\frac{17}{7}{v}_{a}$   
（2）中性粒子分裂，因粒子a帶電量為+q，故粒子b帶電量為-q．粒子a在B₁區(qū)  域的軌道半徑為r_a1，周期為T_a1；在B₂區(qū)域的軌道半徑為r_a2，周期為T_a2，粒子b在B₁、B₂區(qū)域的軌道半徑及周期分別為r_b1、r_b2、T_b1、T_b2．
由洛倫茲力提供向心力，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$    
得：$r=\frac{mv}{qB}$   
解得：${r}_{a1}=\frac{{m}_{a}{v}_{a}}{{q}_{B}_{1}}=\frac{{m}_{v}_}{3q{B}_{0}}$，${r}_{a2}=\frac{{m}_{a}{v}_{a}}{{q}_{a}{B}_{2}}=\frac{{m}_{a}{v}_{a}}{4q{B}_{0}}$
同理：${r}_{b1}=\frac{{m}_{v}_}{{q}_{B}_{1}}=\frac{{m}_{v}_}{3q{B}_{0}}$，${r}_{b2}=\frac{{m}_{v}_}{{q}_{B}_{2}}=\frac{{m}_{v}_}{4q{B}_{0}}$
解得：r_a1：r_b1=1：1    
根據(jù)T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$得：
${T}_{a1}=\frac{2π{m}_{a}}{{q}_{a}{B}_{1}}$=$\frac{17πm}{36q{B}_{0}}$
${T}_{a2}=\frac{2π{m}_{a}}{{q}_{a}{B}_{2}}=\frac{17πm}{48q{B}_{0}}$
${T}_{b1}=\frac{2π{m}_}{{q}_{B}_{1}}=\frac{7πm}{36q{B}_{0}}$
${T}_{b2}=\frac{2π{m}_}{{q}_{B}_{2}}=\frac{7πm}{47q{B}_{0}}$
解得：T_a1：T_b1=17：7   
（3）作a、b分裂后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡示意圖，經(jīng)分析，b經(jīng)歷整數(shù)個(gè)周期加半個(gè)周期，a經(jīng)歷整數(shù)個(gè)周期，二者才可能相遇于分界面．a、b從分裂到相遇，沿y反向的位移為△y_a，△y_b
△y_a=k×2（r_a1-r_a2） （k=1，2，3，…）  
△y_b=2r_b2-n×2（r_b1-r_b2）  （n=1，2，3，…）  
若相遇△y_a=△y_b    
即k+n=3…①
若相遇，還需滿足，t_a=t_b    
t_a=$k（\frac{{T}_{a1}}{2}+\frac{{T}_{a2}}{2}）$    
t_b=$\frac{{T}_{b2}}{2}+n×（\frac{{T}_{b1}}{2}+\frac{{T}_{b2}}{2}）$   
即17k=3+7n…②
聯(lián)立①，②兩式求得k=1，n=2
代入得△y_a=△y_b=$\frac{17m{v}_{a}}{144q{B}_{0}}$   
t_a=t_b=$\frac{119πm}{288q{B}_{0}}$     
 經(jīng)分析可得，a、b相遇于△y_a=$\frac{17m{v}_{a}}{144q{B}_{0}}$前，在軌跡相交點(diǎn)c、d、e、f不會(huì)相撞．
 所以a、b在△y_a=$\frac{119πm}{288q{B}_{0}}$時(shí)相遇，相遇點(diǎn)的y坐標(biāo)為$\frac{17m{v}_{a}}{144q{B}_{0}}$
答：（1）分裂后瞬間b的速度大小為$\frac{17}{7}{v}_{a}$．
（2）分裂后，粒子a、b在B₁區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的半徑之比為1：1．周期之比為17：7．
（3）粒子a、b從分裂到相遇于分界面所經(jīng)歷的時(shí)間是$\frac{119πm}{288q{B}_{0}}$，相遇處的y坐標(biāo)是$\frac{17m{v}_{a}}{144q{B}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于：粒子一分為二之后，各自在兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使它們相遇，必須滿足時(shí)間相等及沿y反方向移的距離相等兩個(gè)條件，列出相應(yīng)的式子，就能表示出相遇的時(shí)間和位置坐標(biāo)．