Question

用磁聚焦法測(cè)比荷的裝置如圖所示．在真空玻璃管中裝有熱陰極K和帶有小孔的陽(yáng)極A．在A、K之間加上電壓U后，不斷地有電子從陰極K由靜止加速到達(dá)陽(yáng)極A，并從小孔射出．接著電子進(jìn)入平行板電容器C，電容器兩極板間加有不大的交變電場(chǎng)，使不同時(shí)刻通過(guò)的電子發(fā)生不同程度的偏轉(zhuǎn)；電容器C和熒光屏S之間加一水平向右的均勻磁場(chǎng)，電容器和熒光屏間的距離為L(zhǎng)，電子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)后打在熒光屏上，將磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度從零開(kāi)始緩慢增大到為B時(shí)，熒光屏上的光點(diǎn)的銳度最大（這時(shí)熒光屏S上的亮斑最�。�．
（1）若平行板電容器C的板長(zhǎng)為

L

4

，求電子經(jīng)過(guò)電容器和磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間之比；
（2）熒光屏上的光點(diǎn)銳度最大滿(mǎn)足的條件是什么？并用U、B、L表示出電子的比荷；
（3）在磁場(chǎng)區(qū)域再加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E=

U

L

，方向與磁場(chǎng)方向相反，若保持U、L和磁場(chǎng)方向不變，調(diào)節(jié)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小，仍使電子在熒光屏上聚焦，則磁感應(yīng)強(qiáng)度大小滿(mǎn)足的條件是什么？

Answer 1

分析：（1）首先分析電子的運(yùn)動(dòng)情況：電子在電容器中運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平方向上不受力做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度不變，電子進(jìn)入磁場(chǎng)后做等距螺旋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度不變，且與在電容器間運(yùn)動(dòng)時(shí)的水平速度相等，從而可知在這兩種區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系．
（2）電子首先在加速電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理可求得電子進(jìn)入電容器時(shí)的速度．在電容器內(nèi)部做較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，都是在水平方向速度不變；進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度與磁場(chǎng)有夾角，電子做等距螺旋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的特征可知圓周運(yùn)動(dòng)的周期是相同的．當(dāng)電子正好在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的情況時(shí)，銳度最大．
（3）在磁場(chǎng)中加上與磁場(chǎng)相反的電場(chǎng)后，電子受到了水平向右的電場(chǎng)力，在是水平方向上，電子做勻加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求出電子達(dá)到S屏?xí)r的速度；由平均速度可求出在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，要使電子在熒光屏上聚焦，運(yùn)動(dòng)時(shí)間就應(yīng)是做圓周運(yùn)動(dòng)的周期的整數(shù)倍．

解答：解：（1）因?yàn)殡娮釉陔妶?chǎng)和磁場(chǎng)中沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由t=

x

v

知，電子經(jīng)過(guò)電容器和磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間之比為1：4．
（2）電子在加速電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理得 Ue=

1

2

mv2
電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡為螺旋線，水平速度均相同，圓周運(yùn)動(dòng)的周期也相同，要使得銳度最大則應(yīng)滿(mǎn)足：

L

v

=

2πm

eB

聯(lián)立解得

e

m

=

8π2U

L2B2

（3）在磁場(chǎng)中加上與磁場(chǎng)相反的電場(chǎng)后，在K、A間，則有  Ue=

1

2

mv2
設(shè)打在S上的水平方向速度為v'，Ue+ELe=

1

2

mv′2
設(shè)電子在復(fù)合場(chǎng)中的時(shí)間為t，電子在復(fù)合場(chǎng)中沿水平方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，t=

L

. v

=

2L

v+v′

要使得銳度最大則應(yīng)滿(mǎn)足：t=n

2πm

eB′

（n=1、2、3…） 
解得：B′=

( 2 +1)

2

nB（n=1、2、3…）       
答：
（1）電子經(jīng)過(guò)電容器和磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間之比為1：4；
（2）電子的比荷為

8π2U

L2B2

；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小滿(mǎn)足的條件是B′=

( 2 +1)

2

nB（n=1、2、3…）．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道質(zhì)量非常高的題，既考察了電子在靜電場(chǎng)中的加速，又考察了電子垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入交變電場(chǎng)后的運(yùn)動(dòng)特征，還考察了電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做等距螺旋運(yùn)動(dòng)的特征．
解答此題的關(guān)鍵首先是正確分析在各個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和特點(diǎn)，了解速度的變化，結(jié)合能量、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓運(yùn)動(dòng)定律進(jìn)行解題．
帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，若帶電粒子所受合外力不斷變化且與粒子的速度不在一條直線時(shí)，粒子將做較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，解決此類(lèi)問(wèn)題通常用能量的觀點(diǎn)解決．