Question

17．如圖所示，A、B兩衛(wèi)星繞地球運行，運動方向相同，此時兩衛(wèi)星距離最近，其中A是地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r．地球可看成質(zhì)量均勻分布的球體，其半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T．若經(jīng)過時間t后，A、B第一次相距最遠，下列說法正確的有（　�。�

• A． 衛(wèi)星B的周期為$\frac{Tt}{T+t}$
• B． 衛(wèi)星B的周期為$\frac{2Tt}{T+t}$
• C． 在地球兩極，地表重力加速度g=$\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{{T^2}{R^2}}}$
• D． 由題目條件可以求出衛(wèi)星B的軌道半徑

Answer 1

分析 A是地球同步衛(wèi)星，其運行周期等于地球自轉(zhuǎn)周期T．當衛(wèi)星B比A多轉(zhuǎn)半周時，A、B第一次相距最遠．由此求得衛(wèi)星B的周期．對于衛(wèi)星A，根據(jù)萬有引力提供向心力，可求得地球的質(zhì)量．在地球兩極，根據(jù)萬有引力等于重力，可求得地表重力加速度g．根據(jù)開普勒第三定律可求得衛(wèi)星B的軌道半徑．

解答 解：AB、衛(wèi)星A的運行周期等于地球自轉(zhuǎn)周期T．設(shè)衛(wèi)星B的周期為T′．當衛(wèi)星衛(wèi)星B比A多轉(zhuǎn)半周時，A、B第一次相距最遠，則有：$\frac{2π}{T′}$t-$\frac{2π}{T}$t=π，解得：T′=$\frac{2Tt}{T+2t}$．故AB錯誤．
C、對于衛(wèi)星A，根據(jù)萬有引力提供向心力，可得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r，可得地球的質(zhì)量：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
在地球兩極，據(jù)萬有引力等于重力，可得：m′g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
聯(lián)立解得：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$，故C正確．
D、根據(jù)開普勒第三定律得：$\frac{{r}^{3}}{{r}_{B}^{3}}$=$\frac{{T}^{2}}{T{′}^{2}}$，r、T已知，T′能求出，可知能求出衛(wèi)星B的軌道半徑r_B．故D正確．
故選：CD

點評 本題是萬有引力定律和圓周運動知識的綜合應(yīng)用．關(guān)鍵是要掌握萬有引力等于向心力，以及萬有引力等于重力這兩條基本思路．