Question

（25分）如圖所示，有二平行金屬導(dǎo)軌，相距l(xiāng)，位于同一水平面內(nèi)（圖中紙面），處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向豎直向下（垂直紙面向里）．質(zhì)量均為m的兩金屬桿ab和cd放在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直．初始時(shí)刻， 金屬桿ab和cd分別位于x = x₀和x = 0處．假設(shè)導(dǎo)軌及金屬桿的電阻都為零，由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)為L(zhǎng)．今對(duì)金屬桿ab施以沿導(dǎo)軌向右的瞬時(shí)沖量，使它獲得初速．設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，也足夠大，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩金屬桿之間距離的變化遠(yuǎn)小于兩金屬桿的初始間距，因而可以認(rèn)為在桿運(yùn)動(dòng)過(guò)程中由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路的自感系數(shù)L是恒定不變的．桿與導(dǎo)軌之間摩擦可不計(jì)．求任意時(shí)刻兩桿的位置x_ab和x_cd以及由兩桿和導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中的電流i三者各自隨時(shí)間t的變化關(guān)系．

Answer 1

解法Ⅰ：

當(dāng)金屬桿ab獲得沿x軸正方向的初速v₀時(shí)，因切割磁力線而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流．由于回路具有自感系數(shù)，感應(yīng)電流的出現(xiàn)，又會(huì)在回路中產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)，自感電動(dòng)勢(shì)將阻礙電流的增大，所以，雖然回路的電阻為零，但回路的電流并不會(huì)趨向無(wú)限大，當(dāng)回路中一旦有了電流，磁場(chǎng)作用于桿ab的安培力將使ab桿減速，作用于cd桿的安培力使cd桿運(yùn)動(dòng)．

設(shè)在任意時(shí)刻t，ab桿和cd桿的速度分別為v₁和v₂（相對(duì)地面參考系S），當(dāng)v₁、v₂為正時(shí)，表示速度沿x軸正方向；若規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈分须娏骱碗妱?dòng)勢(shì)的正方向，則因兩桿作切割磁力線的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

               (1)

當(dāng)回路中的電流i隨時(shí)間的變化率為時(shí)，回路中的自感電動(dòng)勢(shì)

               (2)

根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒(méi)有電阻，有

               (3)

金屬桿在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩桿構(gòu)成的系統(tǒng)受到的水平方向的合外力為零，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)系統(tǒng)質(zhì)心的速度為V_C，有

                (4)

得 

                 (5)

V_C方向與v₀相同，沿x軸的正方向．

現(xiàn)取一新的參考系，它與質(zhì)心固連在一起，并把質(zhì)心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，取坐標(biāo)軸與x軸平行．設(shè)相對(duì)系，金屬桿ab的速度為u，cd桿的速度為，則有

               (6)

               (7)

因相對(duì)系，兩桿的總動(dòng)量為零，即有

               (8)

由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得

               (9)

在系中，在t時(shí)刻，金屬桿ab坐標(biāo)為，在t＋Δt時(shí)刻，它的坐標(biāo)為，則由速度的定義

               (10)

代入 (9) 式得

               (11) 

若將視為i的函數(shù)，由（11）式知為常數(shù)，所以與i的關(guān)系可用一直線方程表示

                (12) 

式中b為常數(shù)，其值待定．現(xiàn)已知在t＝0時(shí)刻，金屬桿ab在系中的坐標(biāo)＝，這時(shí)i = 0，故得

               (13) 

或                (14) 

表示t＝0時(shí)刻金屬桿ab的位置．表示在任意時(shí)刻t，桿ab的位置，故就是桿ab在t時(shí)刻相對(duì)初始位置的位移，用X表示， 

                       (15) 

當(dāng)X>0時(shí)，ab桿位于其初始位置的右側(cè)；當(dāng)X<0時(shí)，ab桿位于其初始位置的左側(cè)．代入(14)式，得

                       (16) 

       這時(shí)作用于ab桿的安培力

                       (17)

ab桿在初始位置右側(cè)時(shí)，安培力的方向指向左側(cè)；ab桿在初始位置左側(cè)時(shí)，安培力的方向指向右側(cè)，可知該安培力具有彈性力的性質(zhì)．金屬桿ab的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的周期

                       (18) 

在任意時(shí)刻t， ab桿離開(kāi)其初始位置的位移

                       (19) 

A為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，φ 為初相位，都是待定的常量．通過(guò)參考圓可求得ab桿的振動(dòng)速度

                                                      (20)

 (19)、(20)式分別表示任意時(shí)刻ab桿離開(kāi)初始位置的位移和運(yùn)動(dòng)速度．現(xiàn)已知在t＝0時(shí)刻，ab桿位于初始位置，即

               X = 0

速度

              

故有

             

             

解這兩式，并注意到(18)式得

                (21) 

                                    (22) 

由此得ab桿的位移

               （23）

由 (15) 式可求得ab桿在系中的位置

               (24) 

因相對(duì)質(zhì)心，任意時(shí)刻ab桿和cd桿都在質(zhì)心兩側(cè)，到質(zhì)心的距離相等，故在系中，cd桿的位置

                                 (25) 

相對(duì)地面參考系S，質(zhì)心以的速度向右運(yùn)動(dòng)，并注意到（18）式，得ab桿在地面參考系中的位置

               (26)        

cd桿在S系中的位置

               （27） 

回路中的電流由 (16) 式得

               (28)

解法Ⅱ：

當(dāng)金屬桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，因切割磁力線而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，回路中出現(xiàn)電流時(shí)，兩金屬桿都要受到安培力的作用，安培力使ab桿的速度改變，使cd桿運(yùn)動(dòng)．設(shè)任意時(shí)刻t，兩桿的速度分別為v₁和v₂（相對(duì)地面參考系S），若規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈冯妱?dòng)勢(shì)和電流的正方向，則由兩金屬桿與導(dǎo)軌構(gòu)成的回路中，因桿在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)而出現(xiàn)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

               (1’)

令u表示ab桿相對(duì)于cd桿的速度，有

               (2’)

當(dāng)回路中的電流i變化時(shí)，回路中有自感電動(dòng)勢(shì)E_L，其大小與電流的變化率成正比，即有

               (3’)

根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒(méi)有電阻，有

               

由式(2’)、(3’)兩式得

               (4’)

設(shè)在t時(shí)刻，金屬桿ab相對(duì)于cd桿的距離為，在t＋Δt時(shí)刻，ab相對(duì)于cd桿的距離為＋，則由速度的定義，有

               (5’)

代入 () 式得

               (6’)

若將視為i的函數(shù)，由(6’)式可知，為常量，所以與i的關(guān)系可以用一直線方程表示，即

                (7’)

式中b為常數(shù)，其值待定．現(xiàn)已知在t＝0時(shí)刻，金屬桿ab相對(duì)于cd桿的距離為，這時(shí)i = 0，故得

               (8’)

或                (9’)

表示t＝0時(shí)刻金屬桿ab相對(duì)于cd桿的位置．表示在任意時(shí)刻t時(shí)ab桿相對(duì)于cd桿的位置，故就是桿ab在t時(shí)刻相對(duì)于cd桿的相對(duì)位置相對(duì)于它們?cè)趖＝0時(shí)刻的相對(duì)位置的位移，即從t＝0到t＝t時(shí)間內(nèi)ab桿相對(duì)于cd桿的位移

                       (10')

于是有

                       (11’)

任意時(shí)刻t，ab桿和cd桿因受安培力作用而分別有加速度a_ab和a_cd，由牛頓定律有

               (12’)

               (13’)

兩式相減并注意到()式得

               (14’)

       式中為金屬桿ab相對(duì)于cd桿的加速度，而X是ab桿相對(duì)cd桿相對(duì)位置的位移．是常數(shù)，表明這個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它的振動(dòng)的周期

                       (15’)

在任意時(shí)刻t，ab桿相對(duì)cd桿相對(duì)位置相對(duì)它們初始位置的位移

                       (16’)

A為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅，φ 為初相位，都是待定的常量．通過(guò)參考圓可求得X隨時(shí)間的變化率即速度

                              (17’)

現(xiàn)已知在t＝0時(shí)刻，桿位于初始位置，即X = 0，速度

故有

             

             

解這兩式，并注意到(15’) 式得

               

               

由此得

               (18’)

因t = 0時(shí)刻，cd桿位于x = 0 處，ab桿位于x = x₀ 處，兩者的相對(duì)位置由x₀表示；設(shè)t時(shí)刻，cd桿位于x = x_cd 處，ab桿位于x = x_ab處，兩者的相對(duì)位置由x_ab－x_cd表示，故兩桿的相對(duì)位置的位移又可表示為

       X = x_ab－x_cd－x₀        (19’)

所以        

               (20’)

(12’)和(13’)式相加,

       

得

       

由此可知，兩桿速度之和為一常數(shù)即v₀，所以兩桿的位置x_ab和x_cd之和應(yīng)為

       x_ab＋x_cd = x₀＋v₀t        (21’)

由(20’)和(21’)式相加和相減，注意到(15’)式，得

               （22’）

               （23’）

由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中電流

               （24’）

評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分．

解法Ⅰ 求得(16)式8分，(17)、(18)、(19)三式各2分． (23)式4分，(24)、(25)二式各2分，(26)、(27)、(28)三式各1分．

解法Ⅱ的評(píng)分可參照解法Ⅰ評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中的相應(yīng)式子給分．