Question

7．勁度系數(shù)為k的輕彈簧豎直懸掛，在其下端掛一質(zhì)量為m的砝碼，然后從彈簧原長處自靜止釋放砝碼，不計摩擦阻力．則（　　）

• A． 砝碼的運動不是簡諧振動
• B． 砝碼最大加速度為2g
• C． 砝碼偏離平衡位置的最大位移為$\frac{2mg}{k}$
• D． 彈簧最大彈性勢能為$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$

Answer 1

分析 由靜止釋放砝碼后，砝碼將做簡諧振動．當砝碼受到向上的彈簧彈力大小等于重力時，速度達到最大，根據(jù)系統(tǒng)的機械能守恒求解砝碼的最大速度．當砝碼下落到速度為零時，彈簧伸長最大，彈性勢能最大，根據(jù)機械能守恒求解．

解答 解：A、設砝碼的最大速度為v_m．砝碼的最大速度時，彈簧彈力大小等于砝碼的重力，則得：mg=kx₀，得彈簧伸長的長度 x₀=$\frac{mg}{k}$．此位置為平衡位置．
在平衡位置以上△x時，彈簧的彈力為：F=k（x₀-△x），
砝碼受到的合力：F_合=mg-F=mg-k（x₀-△x）=k△x；
同理可以得出砝碼在平衡位置以下△x時，仍然滿足：F_合=k△x
即砝碼受到與離開平衡位置的位移成正比的合外力的作用，且該合力始終最小平衡位置，所以由靜止釋放砝碼后，砝碼在重力和彈簧的彈力作用下將做簡諧振動．故A錯誤；
B、當砝碼下落到速度為零時，彈簧伸長最大，彈性勢能最大，根據(jù)對稱性可知，此時彈簧伸長量為：
x′=2x₀=2$\frac{mg}{k}$，
根據(jù)牛頓第二定律得：a=$\frac{{F}_{彈}-G}{m}$=$\frac{kx′-mg}{m}$=$\frac{2mg-mg}{m}$=g，所以彈性勢能最大時小球加速度大小為g，故B錯誤．
C、此時彈簧伸長量為：x′=2$\frac{mg}{k}$，所以砝碼偏離平衡位置的最大位移為：x′-x₀=$\frac{mg}{k}$．故C錯誤；
D、當砝碼下落到速度為零時，彈簧伸長最大，彈性勢能最大，砝碼從靜止開始下落到速度為零時，根據(jù)動能定理研究得：mg•2$\frac{mg}{k}$+W_彈=0-0=0
解得：W_彈=-$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$
彈簧彈力做功量度彈性勢能的變化，所以最大的彈性勢能為$\frac{2{m}^{2}{g}^{2}}{k}$，故D正確．
故選：D．

點評 本題要抓住簡諧運動的特點和對稱性，分析能量如何轉(zhuǎn)化，運用機械能守恒和牛頓第二定律進行分析．