Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)某一位置有一豎直放置的、左上角有一開(kāi)口的光滑圓弧軌道MNP，其半徑為R=0.5m，∠PON=53°，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離是h=0.8m．如用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊恰停止在桌面邊緣D點(diǎn)．現(xiàn)換用同種材料制成的質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊能飛離桌面并恰好由P點(diǎn)沿切線滑入光滑圓軌道MNP（g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．
（1）求物體m₂運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)受到軌道的壓力；
（2）求彈簧的彈性勢(shì)能E_P；
（3）如圓弧軌道的位置以及∠PON可任意調(diào)節(jié)，使從C點(diǎn)釋放又從D點(diǎn)滑出的質(zhì)量為m=km₁物塊都能由P點(diǎn)沿切線滑入圓弧軌道，并且還能通過(guò)最高點(diǎn)M，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）物體恰好無(wú)碰撞落到P點(diǎn)，其豎直分速度可以根據(jù)落體規(guī)律求解，然后根據(jù)速度偏轉(zhuǎn)角求解水平分速度并得到P點(diǎn)速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解M點(diǎn)速度；
（2）對(duì)釋放兩個(gè)滑塊過(guò)程分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式（由C到D過(guò)程），聯(lián)立方程組求解；
（3）先根據(jù)C到D過(guò)程機(jī)械能守恒列式，再根據(jù)D到M過(guò)程機(jī)械能守恒列式，能過(guò)最高點(diǎn)列式，最后聯(lián)立方程組求解即可．

解答：解析：（1）設(shè)物塊由D點(diǎn)以初速v_D做平拋，落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為vy=

2gh

=4m/s
由于

vy

vD

=tan53°，解得v_D=3m/s
若物塊到達(dá)M點(diǎn)速度為v_M，有vP=

v 2 D + v 2 y

=5m/s
P到M過(guò)程，機(jī)械能守恒

1

2

m2

v

2 M

+mg1.6R=

1

2

m2

v

2 P

解得：v_M=3m/s
軌道對(duì)物塊的壓力為F_N，則FN+m2g=m2

v 2 M

R

解得F_N=1.6N
（2）設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)的彈性勢(shì)能為E_P，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，
釋放m₁時(shí)，E_P=μm₁gS_CD
釋放m₂時(shí)，EP-μm2gSCD=

1

2

m2

v

2 D

聯(lián)立解得：EP=m2

v

2 D

=1.8J
（3）設(shè)質(zhì)量為km₁的物塊，到M點(diǎn)的最小速度為v，km1g=km1

v2

R

解得v=

gR

由機(jī)械能守恒定律，得到
EP-μkm1gSCD=

1

2

km1

v

2 D

能通過(guò)最高點(diǎn)
vD≥

gR

機(jī)械能守恒
EP(1-k)≥

1

2

km1gR
解得
1.8（1-k）≥k
即0＜k≤

9

14

答：（1）物體m₂運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)受到軌道的壓力為1.6N；
（2）求彈簧的彈性勢(shì)能為1.8J；
（3）k的取值范圍為0＜k≤

9

14

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后多次運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，最后聯(lián)立方程組求解即可．