Question

1．經(jīng)過天文望遠(yuǎn)鏡長(zhǎng)期觀測(cè)，人們?cè)谟钪嬷幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)了許多雙星系統(tǒng)，通過對(duì)它們的研究，我們對(duì)宇宙中物質(zhì)的存在形式和分布情況有了較深刻的認(rèn)識(shí)，雙星系統(tǒng)由兩個(gè)星體組成，其中每個(gè)星體的線度都遠(yuǎn)小于兩星體之間的距離（一般雙星系統(tǒng)距離其他星體很遠(yuǎn)，可以當(dāng)作孤立系統(tǒng)來處理）．現(xiàn)根據(jù)對(duì)某一雙星系統(tǒng)的光度學(xué)測(cè)量確定，該雙星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量都是m，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線的中點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知引力常量為G．
（1）試計(jì)算該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)．
（2）若實(shí)際上觀測(cè)到的運(yùn)動(dòng)周期為T_測(cè)，且T_測(cè)：T_計(jì)=1：$\sqrt{N}$（N＞1），為了解釋T_測(cè)與T_計(jì)不同，目前有一種流行的理論認(rèn)為在宇宙中可能存在一種望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)不到的暗物質(zhì)．我們假定在以這兩個(gè)星體連線為直徑的球體內(nèi)均勻分布著這種暗物質(zhì)，請(qǐng)根據(jù)上述觀測(cè)結(jié)果確定該星系間暗物質(zhì)的密度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對(duì)稱性可知，兩顆星都繞系統(tǒng)中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物質(zhì)引力和星星引力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解出暗物質(zhì)的質(zhì)量，再求解密度．

解答 解：（1）雙星均繞它們連線的中點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的周期為T_計(jì)算，由萬有引力提供向心力，則有：
$G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}=m•（\frac{2π}{{T}_{計(jì)}}）^{2}•\frac{L}{2}$
解得：T_計(jì)=$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$；
（2）根據(jù)觀測(cè)結(jié)果，星體的運(yùn)動(dòng)周期為：T_測(cè)=$\frac{1}{\sqrt{N}}{T}_{計(jì)}$（N＞1）．
這種周期差異是由于雙星間均勻分布的暗物質(zhì)引起的．均勻分布雙星系統(tǒng)內(nèi)的暗物質(zhì)對(duì)雙星系統(tǒng)的作用，與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于球內(nèi)暗物質(zhì)的總質(zhì)量m′且位于中點(diǎn)O處）的作用相同，考慮暗物體作用后雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期即為觀測(cè)到的周期T_測(cè)，則有：
$G\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}+G\frac{mm′}{（\frac{L}{2}）^{2}}=m（\frac{2π}{{T}_{\frac{1}{3}測(cè)}}）^{2}•\frac{L}{2}$
代入T_計(jì)算=πL$\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$，并整理得：m′=$\frac{N-1}{4}m$；
設(shè)所求暗物質(zhì)的密度為ρ，則有：
ρ=$\frac{m′}{\frac{4}{3}π（\frac{L}{2}）^{3}}$=$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$
答：（1）該雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)周期T_計(jì)算為$πL\sqrt{\frac{2L}{Gm}}$；
（2）該星系間這種暗物質(zhì)的密度為$\frac{3（N-1）m}{2π{L}^{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵找出向心力來源，知道雙星的向心力來自相互的萬有引力，然后根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列方程研究．