Question

4．如圖所示，在兩根間距為$\sqrt{2}$h的光滑的豎直導(dǎo)軌（電阻不計(jì)）之間存在著一個(gè)邊長為h的正方形區(qū)域，其邊界由電阻為4R的均勻?qū)�體框a圍成，該區(qū)域的一條對角線位于水平方向，導(dǎo)體框a位置固定，其中有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場．一根絕緣的不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線一端系住一根質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒，另-端通過兩個(gè)位于一條水平線上的兩個(gè)光滑定滑輪系住一個(gè)質(zhì)量為M=3m、邊長為h、電阻為R的正方形導(dǎo)體框b．導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌緊密連接．且導(dǎo)體棒無水平方向的運(yùn)動(dòng)．在導(dǎo)體框b的下方存在著一個(gè)足夠大的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為$\frac{B}{2}$，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，其寬度為h，其上邊界恰好和導(dǎo)體框b的下邊沿重合，不計(jì)所有摩擦，開始時(shí)托住導(dǎo)體框b，使整體保持靜止，導(dǎo)體棒與正方形磁場的最低點(diǎn)距離為2h，釋放后，導(dǎo)體框b進(jìn)入磁場，并且在其離開磁場之前已經(jīng)開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
（1）求導(dǎo)體棒剛要進(jìn)入正方形磁場的速度v₁
（2）已知導(dǎo)體棒進(jìn)入導(dǎo)體框a內(nèi)磁場后繼續(xù)保持水平并向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其經(jīng)過導(dǎo)體框a水平方向的對角線時(shí)速度達(dá)到最大，試求這個(gè)最大速度．
（3）試分析從導(dǎo)體棒開始進(jìn)入正方形磁場到經(jīng)過導(dǎo)體框a的水平對角線這個(gè)過程中，回路中產(chǎn)生的總熱量．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒剛要進(jìn)入正方形磁場時(shí)已經(jīng)勻速，隔離兩個(gè)線框整體，由平衡條件、安培力與速度的關(guān)系式求解即可．
（2）當(dāng)金屬棒經(jīng)過導(dǎo)體框a水平方向的對角線時(shí)速度達(dá)到最大，合力為零，運(yùn)用平衡條件和安培力與速度的關(guān)系式，求解最大速度．
（3）對整個(gè)系統(tǒng)，運(yùn)用能量守恒定律求熱量．

解答 解：（1）據(jù)題知，導(dǎo)體棒剛要進(jìn)入正方形磁場時(shí)已經(jīng)勻速，由平衡條件得：
對金屬棒有：T=mg
對線框b有：Mg=T+F_安；
又 F_安=$\frac{B}{2}$Ih=$\frac{B}{2}$•$\frac{\frac{B}{2}h{v}_{1}}{R}$h=$\frac{{B}^{2}{h}^{2}{v}_{1}}{4R}$
聯(lián)立解得 v₁=$\frac{8mgR}{{B}^{2}{h}^{2}}$
（2）設(shè)金屬棒的最大速度為v．
則由平衡條件得：
對金屬棒有：T=mg+F_安′
對線框b有：T=Mg
又F_安′=BI•$\sqrt{2}$h=B•$\frac{B•\sqrt{2}hv}{\frac{2R}{2}}$$•\sqrt{2}$h=$\frac{2{B}^{2}{h}^{2}v}{R}$
聯(lián)立解得 v=$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{h}^{2}}$
（3）從導(dǎo)體棒開始進(jìn)入正方形磁場到經(jīng)過導(dǎo)體框a的水平對角線這個(gè)過程中，根據(jù)能量守恒定律得：
  （Mg-mg）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$h+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+Q
解得 Q=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$mgh+$\frac{23{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{h}^{4}}$
答：
（1）導(dǎo)體棒剛要進(jìn)入正方形磁場的速度v₁是$\frac{8mgR}{{B}^{2}{h}^{2}}$．
（2）這個(gè)最大速度是$\frac{3mgR}{2{B}^{2}{h}^{2}}$．
（3）回路中產(chǎn)生的總熱量是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$mgh+$\frac{23{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{h}^{4}}$．

點(diǎn)評 本題為電磁感應(yīng)與力學(xué)的結(jié)合，在解題中要重點(diǎn)做好受力分析及運(yùn)動(dòng)情景分析，用好共點(diǎn)力的平衡關(guān)系及能量守恒定律等基本規(guī)律．