Question

14．據(jù)報(bào)道，一小孩玩耍時(shí)不慎從45m高的陽(yáng)臺(tái)上無(wú)初速度掉下，在他剛掉下時(shí)恰被樓下的一社區(qū)管理人員發(fā)現(xiàn)，該人員隨即迅速由靜止沖向小孩下落處的正下方樓底，準(zhǔn)備接住小孩．已知管理人員到樓底的距離為18m，為確保能穩(wěn)妥安全地接住小孩，管理人員將盡力節(jié)約時(shí)間，但又必須保證接住小孩時(shí)沒(méi)有水平方向的沖擊（即接住小孩時(shí)速度為零）．不計(jì)空氣阻力，將小孩和管理人員都看成質(zhì)點(diǎn)，設(shè)管理人員奔跑過(guò)程中只做勻速或勻變速運(yùn)動(dòng)，g取10m/s²．
（1）管理人員至少需用多大的平均速度跑到樓底？
（2）若管理人員在奔跑過(guò)程中做勻加速或勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小都為18m/s²，且最大速度不超過(guò)9m/s，求管理人員做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間？
（3）若管理人員在奔跑過(guò)程中做勻加速或勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度大小相等，且最大速度不超過(guò)9m/s，求管理人員奔跑時(shí)加速度的大小需滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

分析 （1）兒童掉下做自由落體運(yùn)動(dòng)，可以通過(guò)自由落體的位移公式求出時(shí)間，根據(jù)時(shí)間再求管理員的最小平均速度；
（2）先求出管理員加速、減速的時(shí)間，再求出管理員加速、減速的總位移，從而求出勻速運(yùn)動(dòng)的位移，根據(jù)t=$\frac{x}{v}$求解勻運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（3）管理員先加速到速度最大，再勻速，再減速到0，抓住三段時(shí)間和等于自由落體的時(shí)間，三段位移和等于管理員到樓底的距離，求出加速度所需滿(mǎn)足的條件．

解答 解：（1）兒童下落做自由落體運(yùn)動(dòng)，根據(jù)h=$\frac{1}{2}$gt²得下落的時(shí)間為：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×45}{10}}=3s$，
則管理員的最小平均速度為：$\overline{v}=\frac{x}{t}=\frac{18}{3}=6m/s$
（2）管理員加速、減速的時(shí)間為：t′=$\frac{v}{a}=\frac{9}{18}=0.5s$
位移為：s=$\frac{1}{2}{at′}^{2}=\frac{1}{2}×18×0.25=2.25m$
所以勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t″=$\frac{x-2s}{v}=\frac{18-2×2.25}{9}=1.5s$
（3）設(shè)加速度為a，加速、減速的時(shí)間為t₁，則有：${t}_{1}=\frac{9}{a}$ 
總位移為：x=s_加+s_勻+s_減
帶入數(shù)據(jù)得：18=$2×\frac{1}{2}{a（\frac{9}{a}）}^{2}+9×（t-2×\frac{9}{a}）$
其中t≤3s，
解得：a≥9m/s²
答：（1）管理人員至少以6m/s平均速度跑到樓底；
（2）管理人員做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為1.5s；
（3）管理人員奔跑時(shí)加速度的大小需滿(mǎn)足a≥9m/s²．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清管理人員在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住總時(shí)間和總位移，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律靈活求解，難度中等．