Question

7．如圖所示，在半徑為R=$\frac{mv0}{Bq}$的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B，圓形區(qū)域右側(cè)有一豎直感光板，圓弧頂點P有一速率為v₀的帶正電的粒子平行于紙面進入磁場，已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，粒子重力不計．
（1）若粒子對準圓心射入，求它在磁場中運動的時間；
（2）若粒子對準圓心射入，且速率為$\sqrt{3}$v₀，求它打到感光板上時速度與豎直感光板的夾角；
（3）若粒子以速率v₀從P點以與PQ夾角θ射入，求它打到感光板上時速度與豎直感光板的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑，從而根據(jù)幾何關系求出圓弧的圓心角大小，通過弧長和速度求出在磁場中運動的時間．
（2）若粒子對準圓心射入，且速率為$\sqrt{3}$v₀，軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?\sqrt{3}$倍，通過幾何關系求出圓弧的圓心角，然后求出它打到感光板上時速度與豎直感光板的夾角．
（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，分析清楚粒子運動過程，作出粒子運動軌跡，然后求出它打到感光板上時速度與豎直感光板的夾角．

解答 解：（1）設帶電粒子進入磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑為r，由牛頓第二定律得：
Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=R，
帶電粒子在磁場中的運動軌跡為四分之一圓周，軌跡對應的圓心角為$\frac{π}{2}$．則它在磁場中運動的時間為：
t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$×$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{2qB}$；
（2）由（1）知，當v=$\sqrt{3}$v₀時，帶電粒子在磁場中運動的軌跡半徑為$\sqrt{3}$R，
其運動軌跡如圖所示．
由幾何關系可知∠PO₂O=∠OO₂A=30°，
所以帶電粒子離開磁場時偏轉(zhuǎn)角為60°，
粒子打到感光板上時速度與豎直感光板的夾角為60°；
（3）由（1）知，當帶電粒子以v₀射入時，粒子在磁場中的運動軌跡半徑為R，
設粒子射入方向與PO方向之間的夾角為θ，帶電粒子從區(qū)域邊界S射出，帶電粒子的運動軌跡如圖所示．
因PO₃=O₃S=PO=SO=R，
所以四邊形POSO₃為菱形，由幾何關系可知：PO∥O₃S
在S點的速度方向與O₃S垂直，
即粒子打到感光板上時速度與豎直感光板的夾角為90°；
答：（1）若粒子對準圓心射入，它在磁場中運動的時間$\frac{πm}{2qB}$；
（2）若粒子對準圓心射入，且速率為$\sqrt{3}$v₀，它打到感光板上時速度與豎直感光板的夾角60°；
（3）若粒子以速率v₀從P點以與PQ夾角θ射入，它打到感光板上時速度與豎直感光板的夾角90°．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中的運動，掌握帶電粒子在磁場中運動的半徑公式．本題對數(shù)學幾何能力要求較高，需加強這方面的訓練．