Question

如圖所示，一質(zhì)量為M的小車靜止在光滑水平面上，水平面左右兩側(cè)均為固定的豎直墻壁，左側(cè)與一光滑固定的

1

4

圓弧相連，半徑R=0.8m，圓弧底端切線水平且與車的上表面平齊，將一質(zhì)量為m的小滑塊（可視為質(zhì)點）從圓弧頂端由靜止釋放后滑下，滑塊與車的上表面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.3，已知M=3m，小車所在的水平面足夠長（即滑塊與小車的速度相同前小車不會與墻壁相碰），且小車每次與墻壁的碰撞都不損失機械能（取g=10m/s²）求：
（1）小車第一次與墻壁相碰前的速度
（2）要保證滑塊始終不從車上掉下來，車長至少為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機械能守恒定律求出小滑塊滑到底端時的速度，結(jié)合動量守恒定律求出小車第一次與墻壁相撞前的速度．
（2）根據(jù)動量守恒定律和能量守恒定律求出小車第一次與墻壁碰撞時，滑塊的相對位移，碰撞后，小車以碰撞前的速度反彈，再結(jié)合動量守恒定律和能量守恒定律求出兩者速度相同時的相對位移，結(jié)合兩次相對位移求出小車的至少長度．

解答：解：（1）根據(jù)機械能守恒定律得：mgR=

1

2

mv2
解得：v=

2gR

=

2×10×0.8

m/s=4m/s．
根據(jù)動量守恒定律得：mv=（M+m）v′
解得小車第一次與墻壁相碰前的速度：v′=

mv

M+m

=

m×4

4m

m/s=1m/s．
（2）設(shè)第一次小車與墻壁碰撞，滑塊相對于小車的位移為x₁
根據(jù)能量守恒定律得：μmgx1=

1

2

mv2-

1

2

(M+m)v′2．
代入數(shù)據(jù)解得：x₁=2m．
小車第一次與墻壁碰撞后反向向左運動，設(shè)達(dá)到共同速度為v″．
根據(jù)動量守恒定律得：Mv′-mv′=（M+m）v″
代入數(shù)據(jù)解得：v″=0.5m/s
設(shè)在此過程中相對運動的位移為x₂，根據(jù)能量守恒定律得：
μmgx2=

1

2

mv′2+

1

2

Mv′2-

1

2

(M+m)v″2
代入數(shù)據(jù)解得：x₂=0.5m．
則小車至少的長度：l=x₁+x₂=2.5m．
答：（1）小車第一次與墻壁相碰前的速度為1m/s．
（2）要保證滑塊始終不從車上掉下來，車長至少為2.5m．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、能量守恒定律和機械能守恒定律，綜合性較強，對學(xué)生能力要求較高，是高考的熱點問題，需加強訓(xùn)練．