Question

1．如圖所示，磁感應強度大小B=0.3T、方向垂直紙面向里的勻強磁場分布在半徑R=0.20m的圓形區(qū)域內(nèi)，圓的水平直徑上方豎直分界線MN的左側有水平向右的勻強電場，豎直分界線PQ右側有水平向左的勻強電場，電場強度大小均為E=4$\sqrt{3}$×10⁴V/m，在圓的水平直徑AOC的A點有一粒子源，同時沿直徑AO方向射出速度分別為v₁=$\sqrt{3}$×10⁶m/s和v₂=3$\sqrt{3}$×10⁶m/s的帶正電的兩個粒子，如果粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg，且不計粒子重力及粒子間的相互作用．求：
（1）兩個粒子分別離開磁揚后進人電場時的位置到圓形磁場水平直徑的距離；
（2）兩個粒子第二次到達電楊邊界時的位置到圓形磁場水平直徑的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，畫出運動軌跡，利用半徑公式和幾何關系求出圓心角及到直徑的距離．
（2）粒子進入電場處理方法類似處理類平拋，分解為垂直電場線的勻速運動和平行電場線的勻變速直線運動，利用運動學規(guī)律求出垂直電場線位移和時間，最后在利用幾何關系得出結論．

解答 解：（1）兩個粒子沿直徑進入圓形磁場，做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{mv}{qB}$
速度${v}_{1}^{\;}$的粒子半徑為${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{qB}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{B\frac{q}{m}}=\frac{\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}}{0.3×5.0×1{0}_{\;}^{7}}=\frac{\sqrt{3}}{15}m$
速度${v}_{2}^{\;}$的粒子半徑為${R}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{2}^{\;}}{qB}=\frac{{v}_{2}^{\;}}{B\frac{q}{m}}=\frac{3\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}}{0.3×5.0×1{0}_{\;}^{7}}=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
畫出運動的軌跡圖，如圖
根據(jù)幾何關系，圓弧1所對的圓心角為${θ}_{1}^{\;}$，$tan\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=\frac{{R}_{1}^{\;}}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{15}}{0.2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$可知${θ}_{1}^{\;}=60°$
離開磁場進入左側電場的位置到圓形磁場水平直徑的距離設為${l}_{1}^{\;}$，$tan{θ}_{1}^{\;}=\frac{{l}_{1}^{\;}}{R}$
解得：${l}_{1}^{\;}=Rtan{θ}_{1}^{\;}=Rtan60°=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
圓弧2所對的圓心角為${θ}_{2}^{\;}$，$tan\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}=\frac{{R}_{2}^{\;}}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{5}}{0.2}=\sqrt{3}$可知${θ}_{2}^{\;}=120°$
射出方向與直徑的OC成60°夾角，根據(jù)對稱性粒子射進右側磁場，距離水平直徑的距離${l}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
（2）根據(jù)牛頓第二定律，Eq=ma
得$a=\frac{Eq}{m}=4\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{4}×5×1{0}_{\;}^{7}=2\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{12}$$m/{s}_{\;}^{2}$
將運動分解為垂直電場線和平行于電場線進行處理
垂直電場線方向勻速運動：${v}_{⊥}^{\;}={v}_{1}^{\;}cos30°=1.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$
平行電場線方向勻變速直線運動：${v}_{∥}^{\;}={v}_{1}^{\;}sin30°=\frac{\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/s$
運動時間${t}_{1}^{\;}=2\frac{{v}_{∥}^{\;}}{a}=5×1{0}_{\;}^{-7}s$
垂直電場線位移${l}_{1}^{′}={v}_{⊥}^{\;}{t}_{1}^{\;}=0.75m$
粒子1第二次到達磁場邊界的位置距離圓形磁場水平直徑的距$△{x}_{1}^{\;}={l}_{1}^{\;}+{l}_{1}^{′}=（\frac{\sqrt{3}}{5}+0.75）m$
粒子2到達右側磁場運動規(guī)律和粒子1相似
垂直電場線：${v}_{⊥}^{\;}={v}_{2}^{\;}cos30°=3\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}=4.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$
平行電場線：${v}_{∥}^{\;}={v}_{2}^{\;}sin30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/S$
運動時間：${t}_{2}^{\;}=2\frac{{v}_{∥}^{\;}}{a}=1.5×1{0}_{\;}^{-7}s$
垂直電場線位移：${l}_{2}^{'}={v}_{⊥}^{\;}{t}_{2}^{\;}=0.675m$
粒子2第二次到達磁場邊界的位置距離圓形磁場水平直徑的距離$△{x}_{2}^{\;}={l}_{2}^{\;}+{l}_{2}^{′}=（\frac{\sqrt{3}}{5}+0.675）m$
答：（1）兩個粒子分別離開磁揚后進人電場時的位置到圓形磁場水平直徑的距離均為$\frac{\sqrt{3}}{5}m$；
（2）兩個粒子第二次到達電楊邊界時的位置到圓形磁場水平直徑的距離（$\frac{\sqrt{3}}{5}+0.75$）m和（$\frac{\sqrt{3}}{5}+0.675$）m．

點評 本題考查帶電粒子在圓形磁場中的運動，關鍵是求出半徑，畫出軌跡．注意進磁場時沿半徑，出磁場時必定沿半徑，在電場中通常運用運動的合成與分解的方法，分解為平行于電場和垂直于電場進行處理．