Question

【題目】人類對未知事物的好奇和科學家們的不懈努力，使人類對宇宙的認識越來越豐富。

（1）開普勒堅信哥白尼的“日心說”，在研究了導師第谷在20余年中堅持對天體進行系統(tǒng)觀測得到的大量精確資料后，提出了開普勒三定律，為人們解決行星運動問題提供了依據(jù)，也為牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律提供了基礎。開普勒認為：所有行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。行星軌道半長軸的三次方與其公轉周期的二次方的比值是一個常量。實際上行星的軌道與圓十分接近，在中學階段的研究中我們按圓軌道處理。請你以地球繞太陽公轉為例，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運動定律推導出此常量的表達式。

（2）已知引力常量為G，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度是g，請估算地球的質量M及第一宇宙速度v的大小。

（3）天文觀測發(fā)現(xiàn)，在銀河系中，由兩顆相距較近、僅在彼此間引力作用下運行的恒星組成的雙星系統(tǒng)很普遍。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一點做勻速圓周運動，周期為T，兩顆恒星之間的距離為d，引力常量為G。求此雙星系統(tǒng)的總質量。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），；（3）

【解析】

（1）設太陽質量為，地球質量為，地球繞太陽公轉的半徑為r，太陽對地球的引力是地球做勻速圓周運動的向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓運動定律有

解得

太陽質量和萬有引力常量是一個定值，行星軌道半長軸的三次方與其公轉周期的二次方的比值是一個常量

（2）設地面上的物體質量為m，根據(jù)

地球的質量

根據(jù)

解得第一宇宙速度v

（3）設雙星的質量分別為 、，軌道半徑分別為 、，根據(jù)萬有引力定律及牛頓運動定律有

且有

雙星總質量為