Question

12．蕩秋千是同學(xué)們喜愛的一項(xiàng)體育活動(dòng)．隨著科技的迅速發(fā)展，將來的某一天，你也許會(huì)在火星上享受蕩秋千的樂趣．假設(shè)火星的質(zhì)量為M，半徑為R．蕩秋千過程中可將人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千質(zhì)量不計(jì)，繩長不變，萬有引力常量為G．求：
（1）火星的第一宇宙速度v₁是多少？
（2）火星表面附近的重力加速度g是多少？
（3）若你的質(zhì)量是m，秋千的繩長l，你經(jīng)過最低點(diǎn)的速度大小為v，此時(shí)踏板對(duì)你的支持力多大？

Answer 1

分析 （1）衛(wèi)星繞火星表面飛行，萬有引力提供向心力列出等式求解．
（2）由星球表面附近的重力等于萬有引力求出星球表面重力加速度．
（3）秋千從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒列式，在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律列式，聯(lián)立方程求解．

解答 解：（1）設(shè)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞火星表面飛行速度為v，萬有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$
（2）設(shè)物體的質(zhì)量為m，在火星球表面重力加速度為g，有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
（3）秋千經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)，速度為v，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒，有：
mgl（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在最低點(diǎn)，據(jù)牛頓第二定律，有：
N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：N=$\frac{GMm（3-2cosθ）}{{R}^{2}}$
答：（1）火星的第一宇宙速度是$\sqrt{\frac{GM}{R}}$；
（2）火星表面附近的重力加速度g是$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
（3）此時(shí)踏板對(duì)你的支持力為$\frac{GMm（3-2cosθ）}{{R}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 把星球表面的物體運(yùn)動(dòng)和天體運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來是考試中常見的問題．
重力加速度g是天體運(yùn)動(dòng)研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動(dòng)研究聯(lián)系的物理量