Question

（2012?楊浦區(qū)一模）如圖所示，一根長為三的細(xì)剛性輕桿的兩端分別連結(jié)小球a和b，它們的質(zhì)量分別為m_a和m_b，桿可繞距a球?yàn)長/4處的水平定軸D在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)桿處于豎直位置，小球b幾乎接觸桌面，在桿的右邊水平桌面上，緊挨著細(xì)桿放著一個(gè)質(zhì)量為m的立方體勻質(zhì)物塊，圖中ABCD為過立方體中心且與細(xì)桿共面的截面．現(xiàn)用一水平恒力F作用于a球上，使之繞O軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)在此過程中立方體物塊沒有發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，且小球b立方體物塊始終接觸沒有分離．不計(jì)一切摩擦，求：
（1）在細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)過程中a、b兩小球速度大小的關(guān)系．
（2）當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)過口角時(shí)小球6速度大小與立方體物塊速度大小的關(guān)系．
（3）若m_a=3m_b=m，當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)過30°角時(shí)小球b速度的大�。�

Answer 1

分析：（1）（2）由v=ωR可得出兩球速度關(guān)系，再由運(yùn)動(dòng)的分解，找出球b與立方體的速度關(guān)系．
（3）由題意可知，在恒力的作用下，球a、b及立方體從靜止到運(yùn)動(dòng)，由于球b與立方體間無摩擦力，所以它們的機(jī)械能增量均由恒力做功導(dǎo)致，故由功能關(guān)系列式，并結(jié)合共軸下球a、b角速度相同，從而列式求解．

解答：解：
（1）由b球與正立方體的接觸是光滑的，相互作用力總是沿水平方向，而且兩者在水平方向的位移相同，因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相同，符號相反，做功的總和為0．因此在整個(gè)過程中推力F所做的功應(yīng)等于球a、b和正立方體機(jī)械能的增量．現(xiàn)用v_a表示此a球速度的大小，因a、b角速度相同，oa=

1

4

l，ob=

3

4

l，
所以得  v_a=

1

3

vb… ①
（2）如圖所示，v_b表示a球轉(zhuǎn)α角b球瞬時(shí)速度的大小，v表示此時(shí)立方體速度的大小，
則有v_bcosα=v…②
（3）根據(jù)功能原理可知
F?

1

4

sinα=

1

2

ma

v

2 a

-m_ag（

1

4

-

1

4

cosα）+

1

2

mb

v

2 b

+m_bg（

3

4

l-

3

4

lcosα）+

1

2

mv²…③
將①、②式及條件m_a=3m_b=m代入③可得
F?

1

4

lsinα=

1

2

ma(

1

3

vb)2-m_ag?

1

4

l（1-cosα）+

1

2

mb

v

2 b

+m_bg?

3

4

（1-cosα）+

1

2

m（v_bcosα）²
解得：v_b=3

Fl 43m

答：
（1）在細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)過程中a、b兩小球速度大小的關(guān)系為 v_a=

1

3

vb．
（2）當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)過口角時(shí)小球6速度大小與立方體物塊速度大小的關(guān)系為v_bcosα=v．
（3）若m_a=3m_b=m，當(dāng)細(xì)桿轉(zhuǎn)過30°角時(shí)小球b速度的大�。�當(dāng)a轉(zhuǎn)過α角時(shí)，小球b速度的大小為3

Fl 43m

．

點(diǎn)評：本題考查在共軸下，速度與半徑成正比，同時(shí)運(yùn)用速度的分解，求出立方體的速度．關(guān)鍵在于球b與立方體無摩擦力，使得恒力做功導(dǎo)致兩球與立方體的動(dòng)能增加，這是題目的突破口．讓學(xué)生掌握功能關(guān)系并能理解．