Question

1．如圖所示，“蝸牛狀”軌道OAB豎直固定在水平地面BC上，與地面在B處平滑連接．其中“蝸牛狀”軌道由內(nèi)壁光滑的半圓軌道OA和AB平滑連接而成，半圓軌道OA的半徑R₁=0.6m，半圓軌道AB的半徑R₂=1.2m，水平地面BC長為x_BC=11m，C處是一個開口較大的深坑，一質(zhì)量m=0.1kg的小球，從O點(diǎn)沿切線方向以某一初速度v₀進(jìn)入軌道OA后，沿OAB軌道運(yùn)動至水平地面，已知小球與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ=0.4，取g=10m/s²．
（1）為使小球不脫離OAB軌道，小球在O點(diǎn)的初速度v₀至少為多大？
（2）若小球在O點(diǎn)的初速度v₀=6m/s，求小球在B點(diǎn)對半圓軌道的壓力大�。�
（3）若使小球能落入深坑C，則小球在O點(diǎn)的初速度v₀至少為多大？

Answer 1

分析 （1）在A點(diǎn)由向心力公式可求得A點(diǎn)的速度；再對OA過程由動能定理可求得最小速度；
（2）對OB過程由動能定理可求得B點(diǎn)的速度，再由向心力公式可求得壓力；
（3）對物體在水平面上的運(yùn)動過程分析，由牛頓第二定律及運(yùn)動學(xué)公式求解v₀的最小值．

解答 解：（1）在A點(diǎn)，由牛頓第二定律有：
mg=$\frac{m{v}_{A}^{2}}{{R}_{2}}$…①
O→A，由動能定理有：-mg•2R₁=$\frac{1}{2}$m${v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$… ②
代入數(shù)據(jù)得：v₀=6m/s…③
（2）O→B，由動能定理有：
mgR₂=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²…④
B點(diǎn)，由牛頓第二定律有：F_N-mg=$\frac{{mv}_{B}^{2}}{{R}_{2}}$…⑤
代入數(shù)據(jù)得：F_N=6N… ⑥
由牛頓第三定律得壓力為：F_N′=F_N=6 N…⑦
（3）水平面上，設(shè)小球從B到停止的過程中經(jīng)過的位移為x
由運(yùn)動學(xué)公式有：-2ax=0-v_B²…⑧
由牛頓第二定律有：μmg=ma…⑨
代入數(shù)據(jù)得：v_B=$\sqrt{88}$ m/s…⑩
O→B，由動能定理有：
mgR₂=$\frac{1}{2}$mv′_B²-$\frac{1}{2}$mv′₀²　　
v′₀=2$\sqrt{10}$m/s，
所以使小球能落入深坑C，則小球在O點(diǎn)的初速度v₀至少為2$\sqrt{10}$m/s，
答：（1）為使小球不脫離OAB軌道，小球在O點(diǎn)的初速度v₀至少為$\sqrt{30}$m/s
（2）若小球在O點(diǎn)的初速度v₀=6m/s，小球在B點(diǎn)對半圓軌道的壓力大小是6N；
（3）若使小球能落入深坑C，則小球在O點(diǎn)的初速度v₀至少為2$\sqrt{10}$m/s．

點(diǎn)評 本題考查動能定理及牛頓第二定律的應(yīng)用及向心力公式，要注意正確分析物理過程，明確物理規(guī)律的應(yīng)用．