Question

13．如圖所示，半徑R=4.85m的四分之一光滑圓軌道固定于地面上，在地面上緊靠軌道依次排放兩塊木板A、B，質量均為m₂=20kg，木板上表面與圓軌道末端相切，物塊與木板間的動摩擦因數均為μ₁=0.4，木板A與地面間的動摩擦因數μ₂=0.2，A的長度為l=2m，B與地面間的動摩擦因數為零，在離B右端很遠的地方有一彈性裝置C．將質量為m₁=10kg的物塊（可視為質點）從軌道頂端無初速滑下，物塊滑過A后滑上B，若B與C、A碰撞后B的速度大小不變，方向相反；B在A、C間做往復運動時，每次碰前物塊與B已達到共速．（設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，取g=10m/s²）．
（1）求物塊沿軌道剛滑上B時的速度為多大？
（2）為保證物塊不從B木板上掉下，B木板至少多長？

Answer 1

分析 （1）根據題意判斷物塊滑上A時A的運動狀態(tài)，然后應用動能定理求出物塊剛滑上B時的速度．
（2）B與C第一次碰撞后向左運動，當物塊的速度與B的速度相等時物塊相對B向右滑動的距離最大，如果此時物塊沒有從B上掉下來，則物塊將不會從B上掉下來，應用動量守恒定律求出此時系統(tǒng)的速度，然后應用能量守恒定律求出物塊在B上滑動的距離，即可求出B的最小長度．

解答 解：（1）物塊與A間的滑動摩擦力：f₁=μ₁m₁g=0.4×10×10=40N，
A與地面間的最大靜摩擦力：f_max=μ₂（m₁+m₂）g=0.2×（10+20）×10=60N＞f₁，
則物塊滑上A時A將靜止不動，物塊在A上向右做勻減速直線運動，
從物塊開始下滑到剛滑上B的過程中，由動能定理得：
m₁gR-μ₁m₁gl=$\frac{1}{2}$m₁v₀²-0，解得：v₀=9m/s；
（2）物塊與B組成的系統(tǒng)所受合外力為零，系統(tǒng)動量守恒，
以向右為正方向，由動量守恒定律得：m₁v₀=（m₁+m₂）v₁，
解得，物塊與B第一次共速時的速度：v₁=3m/s，
B與C碰撞后反彈，B向左運動直到物塊與B共速過程系統(tǒng)動量守恒，
以向左為正方向，由動量守恒定律得：m₂v₁-m₁v₁=（m₁+m₂）v₂，
解得，B與C碰撞后物塊與B共速時的速度：v₂=1m/s，
從物塊滑上B到第一次向左共速過程中，對B與物塊組成的系統(tǒng)，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$m₁v₀²=$\frac{1}{2}$（m₁+m₂）v₂²+μ₁m₁gL，
解得：L=9.75m，則B的長度至少為9.75m；
答：（1）物塊沿軌道剛滑上B時的速度為9m/s；
（2）為保證物塊不從B木板上掉下，B木板的長度至少為9.75m．

點評 本題考查了求速度與木板長度問題，考查了動量守恒定律的應用，由于物體的運動過程復雜，本題難度較大，分析清楚物體的運動過程是解題的前提與關鍵，分析清楚物體運動過程后應用動能定理、動量守恒定律與能量守恒定律可以解題．