Question

如圖所示，虛線上方有場(chǎng)強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向豎直向下，虛線上下有磁感應(yīng)強(qiáng)度相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，大小為B，方向垂直紙面向外，ab是一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)桿，沿電場(chǎng)線放置在虛線上方的場(chǎng)中，b端在虛線上．將一套在桿上的帶正電的輕小球，帶電量為q，質(zhì)量為m，從a端由靜止釋放，小球到達(dá)b端前已做勻速運(yùn)動(dòng)．已知小球與絕緣桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小球重力忽略不計(jì)，當(dāng)小球脫離桿進(jìn)入虛線下方的磁場(chǎng)，求：
（1）小球到達(dá)b點(diǎn)的速度大小．
（2）小球從b點(diǎn)進(jìn)入虛線下方，當(dāng)再一次回到虛線時(shí)離b點(diǎn)的距離是多少？
（3）若小球從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次過虛線時(shí)所用時(shí)間為t，則小球在桿上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為多少？

Answer 1

分析：（1）由題，小球到達(dá)b端前已做勻速運(yùn)動(dòng)，分析受力，由平衡條件列式，求解小球到達(dá)b點(diǎn)的速度大小．
（2）小球從b點(diǎn)進(jìn)入虛線下方，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力，由牛頓第二定律可求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系求出再一次回到虛線時(shí)離b點(diǎn)的距離．
（3）先由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求得小球在桿上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：（1）小球在沿桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，受力情況如圖所示：
當(dāng)小球在桿上做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)由平衡條件得：
在水平方向有：N=qv_bB  　　�、�
在豎豎直方向有：qE=f　　    ②
又因摩擦力：f=μN(yùn)　　　　　③
由①②③式解得小球到達(dá)b點(diǎn)的速度為：
    v_b=

E

μB

　　　　
（2）小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力提供向心力：
   qv_bB=m

v 2 b

R

 ④
解得半徑為：R=

mE

μqB2

  ⑤
小球離b點(diǎn)的距離為：s=2R=

2mE

μqB2

 ⑥
（3）小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為
  T=

2πR

vb

=

2πm

qB

 ⑦
從b運(yùn)動(dòng)到第二次過虛線所用時(shí)間為：t₂=

T

2

  ⑧
所以小球在桿上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=t-t₂  ⑨
由⑦⑧⑨式解得：t₁=t-

πm

qB

答：
（1）小球到達(dá)b點(diǎn)的速度大小為

E

μB

．
（2）小球從b點(diǎn)進(jìn)入虛線下方，當(dāng)再一次回到虛線時(shí)離b點(diǎn)的距離是

2mE

μqB2

．
（3）若小球從a點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第二次過虛線時(shí)所用時(shí)間為t，小球在桿上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t-

πm

qB

．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，綜合了靜電場(chǎng)和動(dòng)力學(xué)的知識(shí)，分析方法和力學(xué)的分析方法基本相同．先分析受力情況再分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過程（平衡、加速、減速，直線或曲線），然后選用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律解題．解決這類問題的基本方法有兩種，第一種利用力和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，選用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；第二種利用能量轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，選用動(dòng)能定理和功能關(guān)系求解．在解答有變力做功時(shí)，常用功能關(guān)系來解決問題．