Question

如圖所示，在以O(shè)為圓心，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，AB為一擋板，其上的P點(diǎn)與O的連線垂直于擋板，PO=

3

R，一群質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子（不計(jì)重力）以不同的速率沿與擋板平行且正對(duì)圓心O的方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，已知其中速率為2v的粒子離開(kāi)磁場(chǎng)后落在擋板上的P點(diǎn)．
（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）若已知這些粒子落在擋板上分布在以P為中心，長(zhǎng)度為2R的范圍內(nèi)，求這些粒子的速度大小的范圍．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由題知，粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑等于R，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）畫(huà)出軌跡，根據(jù)幾何知識(shí)求出帶電粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大值和最小值，由牛頓第二定律求出對(duì)應(yīng)的速度最大值和最小值，即可得到速度大小的范圍．

解答：解（1）由題意，速率為2v的粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑r=R

由q?2vB=m

(2v)2

r

得B=

2mv

qR

（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑的最大值和最小值分別為r₁、r₂，對(duì)應(yīng)的最大速率和最小速率分別為v_max和v_min．
由幾何知識(shí)得：tanα=

R

3 R

=

3

3

，則得α=30°
r₁=Rcot30°=

3

R，r₂=Rtan30°=

3

3

R
由qvB=m

v2

r

得v=

qBr

m

故：v_max=

3 qBR

m

=2

3

v，v_min=

3 qBR

3m

=

2 3

3

v
所以粒子的速度范圍為

2 3

3

v≤v′≤2

3

v，
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是得

2mv

qR

；
（2）若已知這些粒子落在擋板上分布在以P為中心，長(zhǎng)度為2R的范圍內(nèi)，這些粒子的速度大小的范圍為

2 3

3

v≤v′≤2

3

v．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求解軌跡半徑．