Question

如圖所示，質(zhì)量不計(jì)且足夠長(zhǎng)的倒L型支架下端固定在質(zhì)量為2m的木板上，在其上端O處系一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩，繩的下端系一質(zhì)量為m的小球，小球可視為質(zhì)點(diǎn)．整個(gè)裝置在光滑的水平面上以速度v₀向右作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，水平面的右端為一矮墻壁．
①若木板與墻壁相碰后即與墻壁粘合在一起，試求碰后小球上升至最高點(diǎn)時(shí)繩中的張力大�。ㄐ∏蛟谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中不與支架相碰）．
②若木板與墻壁相碰后以原速率反彈，要使繩的最大偏角不超過(guò)90°，則繩長(zhǎng)L應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？
③在滿(mǎn)足第2問(wèn)的條件下，則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，木板對(duì)地的壓力是多大？

Answer 1

分析：（1）木板與墻壁相碰立即與墻壁粘合在一起，小球以速度v₀向右做圓周運(yùn)動(dòng)，速度v₀在不同的范圍內(nèi)小球的運(yùn)動(dòng)情況不同，分情況討論．
（2）繩的偏角最大時(shí)，球與木板的共同速度為υ，根據(jù)動(dòng)量守恒求得共同速度，再根據(jù)機(jī)械能守恒求得繩長(zhǎng)．
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，根據(jù)系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，列式求出小球和木板的速度．在最低點(diǎn)時(shí)，由重力和細(xì)繩的拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律細(xì)繩的拉力，再對(duì)木板研究，即可求得地對(duì)板的支持力，由牛頓第三定律求出木板對(duì)地的壓力．

解答：解：①當(dāng)v₀≤

2gL

時(shí)，設(shè)球上升到最高點(diǎn)時(shí)繩與豎直方向的夾角為θ．
對(duì)小球向上擺動(dòng)的過(guò)程有：mgL（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 0

                 
小球在最高點(diǎn)時(shí)有：T=mgcosθ                                
解得張力：T=mg-

m v 2 0

2L

                                       
當(dāng)

2gL

＜V0＜

5gL

時(shí)，繩松弛后小球作斜上拋運(yùn)動(dòng)，故張力T=0      
當(dāng)v0≥

5gL

時(shí)，設(shè)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為v．
對(duì)小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過(guò)程有：

1

2

m

v

2 0

-

1

2

mv2=mg?2L       
小球在最高點(diǎn)時(shí)有：T+mg=m

v2

L

                             
解得張力：T=m

v 2 0

L

-5mg                                  
②若繩長(zhǎng)為L(zhǎng)₀時(shí)，碰后繩的最大偏角為90⁰，球與木板的共同速度為v
據(jù)動(dòng)量守恒得：2mv₀-mv₀=3mv                              
據(jù)機(jī)械能守恒得：mgL₀=

1

2

?3m

v

2 0

-

1

2

?3mv2                     
解得：L0=

4 v 2 0

3g

所以當(dāng)L滿(mǎn)足L≥

4 v 2 0

3g

時(shí)，繩的偏角不超過(guò)90⁰                 
③設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球、木板的速度分別為v₁、v₂，據(jù)動(dòng)量、能量守恒得
2mυ₀-mυ₀=mυ₁+mv₂
據(jù)機(jī)械能守恒得：

1

2

?3m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

?2m

v

2 2

解得：v₁=-v₀（?-?表示小球向右通過(guò)最低點(diǎn)），v₂=v₀
    v₁=

5

3

v0，v2=-

v0

3

（?-?表示木板向右運(yùn)動(dòng)）         
不論小球向左還是向右通過(guò)最低點(diǎn)，球相對(duì)于板的速度v’均為2v₀，即：v′=2v₀
對(duì)最低點(diǎn)的小球有：T-mg=m

v′2

L

                             
對(duì)木板有：N=T+2mg                                       
據(jù)牛頓第三定律得：板對(duì)地壓力大小N′=N                       
解得：N′=3mg+

4m v 2 0

L

答：
①若木板與墻壁相碰后即與墻壁粘合在一起，碰后小球上升至最高點(diǎn)時(shí)繩中的張力大小為m

v 2 0

L

-5mg．
②若木板與墻壁相碰后以原速率反彈，要使繩的最大偏角不超過(guò)90°，則繩長(zhǎng)L應(yīng)滿(mǎn)足L≥

4 v 2 0

3g

．
③在滿(mǎn)足第2問(wèn)的條件下，則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)，木板對(duì)地的壓力是3mg+

4m v 2 0

L

．

點(diǎn)評(píng)：本題中細(xì)繩帶小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球需要向心力，根據(jù)小球獲得速度的大小判斷小球的運(yùn)動(dòng)情況．該題是把動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒結(jié)合得綜合應(yīng)用．