Question

【題目】某裝置用磁場控制帶電粒子的運(yùn)動，工作原理如圖所示．裝置的長為 L，上下兩個相同的矩形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向與紙面垂直且相反，兩磁場的間距為d．裝置右端有一收集板，M、N、P為板上的三點(diǎn)，M位于軸線OO′上，N、P分別位于下方磁場的上、下邊界上．在紙面內(nèi)，質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子以某一速度從裝置左端的中點(diǎn)射入，方向與軸線成30°角，經(jīng)過上方的磁場區(qū)域一次，恰好到達(dá)P點(diǎn)．改變粒子入射速度的大小，可以控制粒子到達(dá)收集板上的位置．不計(jì)粒子的重力．

（1）求磁場區(qū)域的寬度h；

（2）欲使粒子到達(dá)收集板的位置從P點(diǎn)移到N點(diǎn)，求粒子入射速度的最小變化量Δv；

（3）欲使粒子到達(dá)M點(diǎn)，求粒子入射速度大小的可能值．

Answer 1

【答案】（1）h＝（－）（1－）；（2）Δv＝（－）；

（3）vn＝（－）（2≤n＜，n取整數(shù)）

【解析】

試題（1）設(shè)帶電粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑為r，依題意作出帶電粒子的運(yùn)動軌跡如下圖所示．

由圖中幾何關(guān)系有：L＝3rsin30°＋，h＝r（1－cos30°）

解得：h＝（－）（1－）

（2）設(shè)帶電粒子初始入射速度為v1，改變速度后仍然經(jīng)過上方的磁場區(qū)域一次后到達(dá)N點(diǎn)，此時速度的改變量最小，設(shè)為v2，粒子改變速度后，在磁場中運(yùn)動的軌道半徑為r′，帶電粒子的運(yùn)動軌跡如下圖所示．

由圖中幾何關(guān)系有：L＝4r′sin30°＋

根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力大小公式有：qv1B＝，qv2B＝

粒子入射速度的最小變化量Δv＝|v2－v1|

聯(lián)立以上各式解得：Δv＝（－）

（3）粒子可能從上方磁場出來后經(jīng)過M點(diǎn)，也可能從下方磁場出來后經(jīng)過M點(diǎn)，不妨假設(shè)粒子共n次經(jīng)過了磁場區(qū)域到達(dá)了M點(diǎn)，此時在磁場中運(yùn)動的軌道半徑為rn，速度為vn，根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力大小公式有：qvnB＝

根據(jù)幾何關(guān)系有：L＝2nrnsin30°＋

解得：vn＝（－）

由于粒子經(jīng)過上方的磁場區(qū)域一次，恰好到達(dá)P點(diǎn)，因此粒子不可能只經(jīng)過上方一次射出后直接到達(dá)M點(diǎn)，因此有：n≥2

又因?yàn)椋�粒子必須能夠�?jīng)過磁場改變其運(yùn)動速度的方向才能到達(dá)M點(diǎn)，因此滿足n＜＝

所以：vn＝（－）（其中2≤n＜，且n為整數(shù)）