Question

8．如圖所示，一個光滑的圓錐體固定在水平面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為θ=30°，一條長度為L的輕繩，一端的位置固定在圓錐體的頂點O處，另一端栓著質(zhì)量為m的小物體，小物體以一定速率繞圓錐體軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，求：
（1）小物體剛好對錐面沒有壓力時的運動速率；
（2）當小物體速度v=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$時，繩對物體的拉力．（重力加速度g已知，結(jié)果可保留根式）

Answer 1

分析 （1）求出物體剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出該臨界速度．
（2）當速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據(jù)牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答 解：（1）當物體離開錐面時：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得v₀=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gl}{6}}$．
（2）v=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$＜v₀時，有${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=\frac{m{v}^{2}}{R}$，T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$．
答：（1）小物體剛好對錐面沒有壓力時的運動速率是$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gl}{6}}$；
（2）當小物體速度v=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$時，繩對物體的拉力是$\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$．

點評 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運用牛頓第二定律求解．